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http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomia …

を参照して、判別式について考えています。

そこでの、普通の意味での判別式は、
D = a_0^2(n-1)Π( αi - αj )^2
で、

D=0⇔多項式 F(X) (または、方程式 F(X)=0 )は、重根をもつ

です。

2次においては、
D>0ならば、2つの相異なる実数解をもつ
D<0ならば、2つの相異なる虚数解をもつ
D=0ならば、実数の2重解をもつ

3次においては、
D>0ならば、3つの相異なる実数解をもつ
D<0ならば、1つの実数解と2つの虚数解をもつ
D=0とする。p=q=0ならば、3重解(解は0のみ)をもつ
       pq≠0 ならば、 3つの実数解(2重解とその他の解)をもつ

のように、2次や3次に限っては、判別式Dの正負または0の値によって明確に分類されます。

では、4次方程式の場合にはどうなるでしょうか?

たとえば、相異なる実数解を4個もつ条件は何でしょうか?

(極大値が正、極小値が負という条件を考えましたが、微分した3次方程式を解くことになるし、結果もきれいにならないだろうし、また、より一般には、5次方程式は解けないし、なにか別のいい方法を知りたいと思っています。)

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A 回答 (3件)

>では、4次方程式の場合にはどうなるでしょうか?


>たとえば、相異なる実数解を4個もつ条件は何でしょうか?

3次までの判別式DはD=0が重解を持つ条件ですね。
判別式Dの定義が方程式の最高次の係数を1に正規化した後の方程式の判別式では2根の差の自乗積ですから、重解があればD=0は明らかですね。

重解以外の判定はたまたまできただけです。
もちろん、実数係数の高次多項式=0の方程式は必ず複素根を持つ場合はすべて共役複素根のセットとして存在します。
3次方程式は一根は実数です。従って虚根がある場合は共役複素根が一組だけしか存在しません。従ってこの性質から判別式Dの正負により根の実根や虚根の判別とD=0の重解(重根)の有無の判別とから、D>0で異なる実根まで判別が可能になったわけですね。
2次方程式もおなじ理由で根の判別ができます。

5次以上は一般的には根が求められませんから根の差の自乗積でできる判別式Dだけで一般的に今の種類を統一的に論じられませんね。重解(重根)の存在の判別だけにしか使えませんね。ただすべてが異なる実根の場合はD>0になりますが、それ以上のことは解析しないと分かりません。

4次方程式の場合は一般的にすべての根を求めることができますから、根の判別はできますね。ただ従来の根の差の自乗積でできる判別式Dだけで一般的に判別できるかと言えば多分できないきます。一般的な解析が難しいからどの数学書にも書かれていないのだと思います。

本論に戻って4次方程式の場合の異なる4実根を持つ条件については
f(x)=0の4根をα、β、γ、δとおけば以下の3つの条件が成立することが
異なる4実根を持つ条件となるかと思います。

1)f'(x)=0が異なる3実根a,b,c(a<b<c)をもつ
 f'(x)=0の3次方程式の判別式D3>0
2)f(a)f(c)>0
D1= (a-α)(a-β)(a-γ)(a-δ)(c-α)(c-β)(c-γ)(c-δ)>0
3)f(a)f(b)<0
D2=(a-α)(a-β)(a-γ)(a-δ)(b-α)(b-β)(b-γ)(b-δ)<0

判別式D1,D2,D3を使えば良いですね。
4次方程式の根と係数の関係からD1,D2,D3が係数だけで表せれば一般化できますがやってみていませんのですみません。(^^;)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
一日中いろいろ調べて、自分の考えをまとめました。

実数係数n次方程式がある。n次の係数は1にしておく。
残りの係数を用いて、重解を持つかどうか判別したい。

D=a_0^2(n-1)Π( αi - αj )^2=(係数の多変数多項式で表せる)として、
重根をもつ⇔D=0

終結式(行列式で表せる)の考えを用いて、
重根をもつ⇔f(x)とf '(x)の終結式=0

互除法の考えを用いて、
重根をもつ⇔f(x)=0とf '(x)=0が共通解を持つ
⇔f(x)とf '(x)が共通因数を持つ
⇔互除法を用いて、最大次数の因数を調べると、1次以上

グラフを用いて、
重根をもつ⇔ある極値=0となる⇔f '(x)=0の解を求め(数値計算)、f(x)に代入して0になるようなものがあればよい

実数係数n次方程式がある。
その係数を用いて、n個の異なる実数解を持つかどうか判別したい。

スツルムの定理を用いて、
n個の異なる実数解を持つ
⇔f(x)とf '(x)から、ある規則によって多項式列を作り、x=-M(Mは十分大きい)での数列の符号変化がn回、x=M(Mは十分大きい)での数列の符号変化が0回、であればよい

グラフを用いて、
n個の異なる実数解を持つ
⇔f '(x)=0の解が異なるn-1個あり、極大値>0、極小値<0であればよい

ANo.1さまの、D(a)={f(x)-aの判別式}におけるの符号の変化、
ANo.2さまの、判別式D1,D2,D3、
も有意義と思います。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/05/13 00:22

A#2のお礼の補足で



>実数係数n次方程式がある。n次の係数は1にしておく。

とあるので

>D=a_0^2(n-1)Π( αi - αj )^2=(係数の多変数多項式で表せる)として、
>重根をもつ⇔D=0
D=Π( αi - αj )^2
となります。
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もちろん高次方程式に対しても判別式を考えることはできますが、非常にやっかいな計算になるので、判別式を用いて解の虚実を調べようというのはあまりよい方針とは思えません。

そもそも判別式は重根の存在の有無を調べるためのものであって、実数解の存在の有無が分かるのはむしろ2次方程式、3次方程式の場合に限って出てくる副次的なものです。

たとえば4次方程式であれば、判別式が正になっても実根が4つなのか、虚根が4つなのか区別できません。負であれば実根が2つで虚根が2つだと分かるけれども。より高次になればなおさらです。微分の情報を調べて何とかならないか、という気がするかも知れませんが、たとえば、4実根を持つ方程式x^4-4x^2+3=0と、4虚根を持つx^4-4x^2+5=0を比べてみればよいのです。導関数はまったく同じです。

すなおに極値の符号を調べるというのがもっとも簡単で、また実戦的だと思います。微分した3次方程式が難しい場合も解の近似値を得て、おおよそのことは分かります。たとえばα<β<γに対して、f(α)<0、f(β)>0、f(γ)<0がわかっただけで、最高次の係数が正であれば、4実解を持つことはわかります。α、β、γは極値である必要はありません。実用的という意味では、微分した3次関数を解くのではなく、もとの4次式f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dをf(x)=(x-α)^2(x-β)^2+px+qと変形して(恒等式だから係数比較ですぐできる)f(α)<0、f(β)<0、f((α+β)/2)>0がわかれば4実数解がある、とやることも出来ます。これは必要条件にはなっていませんが、実用的という意味ではかなり強力な道具です。複接線と呼ばれるpx+qと比べる、というアイデアです。もちろんこれが成り立たなくても4次数解を持つ可能性はありますが、大抵の場合、まれです。ちなみに複接線が引ける条件はf''(x)=0が異なる2実解を持つことです。

どうしても判別式と使ってみたい場合、D(a)={f(x)-aの判別式}とおいてやって、D(a)の符号の変化を調べる、という方法が使えるかも知れません。大抵の場合、元の方程式より厄介になっているようには思いますが。グラフを考えてみるとどうなれば4実数解を持つかは具体的にかけるでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
一日中いろいろ調べて、自分の考えをまとめました。

実数係数n次方程式がある。n次の係数は1にしておく。
残りの係数を用いて、重解を持つかどうか判別したい。

D=a_0^2(n-1)Π( αi - αj )^2=(係数の多変数多項式で表せる)として、
重根をもつ⇔D=0

終結式(行列式で表せる)の考えを用いて、
重根をもつ⇔f(x)とf '(x)の終結式=0

互除法の考えを用いて、
重根をもつ⇔f(x)=0とf '(x)=0が共通解を持つ
⇔f(x)とf '(x)が共通因数を持つ
⇔互除法を用いて、最大次数の因数を調べると、1次以上

グラフを用いて、
重根をもつ⇔ある極値=0となる⇔f '(x)=0の解を求め(数値計算)、f(x)に代入して0になるようなものがあればよい

実数係数n次方程式がある。
その係数を用いて、n個の異なる実数解を持つかどうか判別したい。

スツルムの定理を用いて、
n個の異なる実数解を持つ
⇔f(x)とf '(x)から、ある規則によって多項式列を作り、x=-M(Mは十分大きい)での数列の符号変化がn回、x=M(Mは十分大きい)での数列の符号変化が0回、であればよい

グラフを用いて、
n個の異なる実数解を持つ
⇔f '(x)=0の解が異なるn-1個あり、極大値>0、極小値<0であればよい

ANo.1さまの、D(a)={f(x)-aの判別式}におけるの符号の変化、
ANo.2さまの、判別式D1,D2,D3、
も有意義と思います。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/05/13 00:22

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●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
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下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
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正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

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Q理系は国立志向が非常に強いですが、そんなに私立はダメですか?

僕は今年東大に落ち、慶應理工に行くことになっています。
(まだ入学金を払っていないので24日までなら一応変更は可能です。)
しかし、慶應理工にいくのはなんとなく気がすすみません。
学校の進路指導で理系は国立の方が良いと散々言われてきましたし、
このサイトにおいてもこういう類の質問では必ずそう言われます。
しょうもないですが、可能性の高かった東工大を
受けておけば良かったと今になって後悔しています。

僕は将来、大学の研究職に就きたいと思っているので、
国立へ行った方がいいのは明らかなのですが、
慶應理工から大学の研究職を目指すんだったら、
一浪して東大(もしくは東工大)へ行った方がいいですか?
設備面や教育面で私立は国立に劣るようなのですが、
同じように勉強を頑張るならば私立と国立の大学4年間で、
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慶應理工に進学するなら頑張れば国立にひけをとらないという気持ちで行きたいし、
そういう気持ちになれないなら浪人も考えざるを得ないです。
現時点では進学にも気がすすまず、浪人にも気がすすまず、
人生の中でワースト5に入るくらいにピンチな状況です。

僕には学校の進路指導やインターネットで集めた断片的な知識
しかないので、回答とともにアドバイスお願いします。

僕は今年東大に落ち、慶應理工に行くことになっています。
(まだ入学金を払っていないので24日までなら一応変更は可能です。)
しかし、慶應理工にいくのはなんとなく気がすすみません。
学校の進路指導で理系は国立の方が良いと散々言われてきましたし、
このサイトにおいてもこういう類の質問では必ずそう言われます。
しょうもないですが、可能性の高かった東工大を
受けておけば良かったと今になって後悔しています。

僕は将来、大学の研究職に就きたいと思っているので、
国立へ行った方がいいの...続きを読む

Aベストアンサー

私立が良くないのは、
1.教員に対して学生数が多すぎる
2.どうも、教員の授業だ何だが国立より多いようだ
3.「研究設備」が貧弱なことが多い(必ずしもそうとは限らない)
4.3.に関連して、概ね大学院が弱い
5.よくは知りませんが、大学院定員がどうなっているか、東大東工大のように研究室の選択肢が豊富か
6.学費が高い
7.結果的に研究志向の学生は若干少ないかも
なんて辺りではないでしょうか。(ものすごく詳しいわけではありませんが)

1.は解りにくいと思いますが、
あなたの高校のクラスが30人から90人になったらどうでしょう。
ま、これは教室だけ広げてマイクでも付けておけば何とかなるでしょう。
ところが、研究室配属以降だとどうなるかというと、教員一人が4年生3人の面倒を見るところと、6人の面倒を見るところでは、目の行き届き方が違うでしょう。(極端ではありますが、ピアノのレッスンを想像すると良いかも知れません。)
勿論、3人だ6人だというのは4年生の数であって、修士博士と他にも学生は居るわけです。
研究面で弱いと、それだけ博士課程(後期?)の学生が少なくなるでしょう。
充実した研究室であれば、博士課程後期の学生も少なくないことが多いので、彼らに4年生修士1年生の面倒を見させれば、大体どうにかなります。
なお、4年生になっただけでは、通常研究なんて何にもできません。
つまり、授業だなんだで忙しいわ、抱える学生の数は多いわ、手伝ってくれる博士は少ないわ、という三重苦になりかねません。
理論系だと違うかも知れませんけどね。

また、東大東工大の場合、学内で行ける研究室が多くなります。
これは結構便利なことで。
情報が入って来易いですし。(もっとも十分な情報だとは限りませんが....)
自分のしたいことに近いことは選び易くなります。(ま、学内に限る必要もないんですが)
早稲田慶応でそこまで選択肢があるのかな、と。

入試の話に戻れば、文系がセンターで数学をやる場合は、得意不得意の差があり大変だと思いますが、理系の場合は差がそれほど出そうにない国社ですから、そういう意味でも理系なら国立を目指すべきだという指導は間違いではないと思います。

というわけで、早慶と東工大東大、両方受かっていれば後者、どっちを目指すかでも後者だとは思います。
しかし、国立優位というのは何れも研究室所属後のことでは無かろうかと思います。
私立で学部生をしたことはないのですが、おそらくは、研究室所属前であれば、そんなに変わらないのではないかと思います。

東工大よりは確実に良さそうなのが、
女の子が居る、キャンパスにたぶん華がある。
くだらないことかも知れませんが、長い人生まるっきり無駄なことだとは思いません。
男子校から男子校へ行くようなことになりかねない人は特に。

> 人生の中でワースト5に入るくらいにピンチな状況です。

全然甘いです。
だって慶応に受かってるんですから。(笑)
全落ちならワースト-10でしょうか。
このくらいのことで一々動揺してはいけません。
悩むのは大いに結構ですけどね。
そんなに悪い状況ではありませんよ。という客観的な視点は持っておいた方が良いでしょう。
本当にそれがワースト5なら、今まで何もしてこなかったって事ですから、そっちの方がかなり拙いですよ。

慶應に行っても浪人しても、どっちでも良いとは思いますが、浪人する場合、精神的には弱いのかな、というところが気になります。

私立が良くないのは、
1.教員に対して学生数が多すぎる
2.どうも、教員の授業だ何だが国立より多いようだ
3.「研究設備」が貧弱なことが多い(必ずしもそうとは限らない)
4.3.に関連して、概ね大学院が弱い
5.よくは知りませんが、大学院定員がどうなっているか、東大東工大のように研究室の選択肢が豊富か
6.学費が高い
7.結果的に研究志向の学生は若干少ないかも
なんて辺りではないでしょうか。(ものすごく詳しいわけではありませんが)

1.は解りにくいと思いますが、
あなたの高校のクラスが30人か...続きを読む

Q負の余りはあり得ますか?

余りは必ず正でないといけないのでしょうか?

例えば、10÷3は「3余り1」ですよね。これが「4余り-2」だと間違いでしょうか?

例えば、(-10)÷3は「-3余り-1」なのか、「-4余り2」なのか、どちらが正しいのでしょうか?

ちなみにExcelでは、前者は「3余り1」、後者は「-4余り2」と返します。

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皆さん書いておられる通り、これは
余りの定義の問題なのですが、
「割り算の定義の問題」と
言い替えてみると、しっくり来る
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正の余りが出る割り算と
負の余りが出る割り算は、
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ひと括りに割り算といっても、
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Q大学受験で四次方程式の解と係数の関係は使える?

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しかし、そのために「論理展開がお粗末」になってしまうと本末転倒です。

たとえば、
---------------------------------------------------------
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ax^4+ bx^3+ cx^2+ dx+ e= a(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)

と表すことができる。係数比較より・・・
---------------------------------------------------------
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Q二平面の交線の方程式

二平面の交線の方程式

(1)二平面 x+2y-z-4=0 と x-y+2z-4=0 の交線の方程式を求めよ。
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解答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)x+2y-z-4=0
x-y+2z-4=0
をx,yの連立方程式として解くと
x=-z+4 (z=-x+4)
y=z
よって-x+4=y=z

(2) (-1,1,1)はこの交線の方向ベクトル
   (4,0,0)はこの交線上にあり,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(4,-1,0)
   2つのベクトル(-1,1,1),(4-1,0)に垂直なベクトル(1,4,-3)を求めて,これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を(x,y,z)とすると,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(x,y-1,z)は
(1,4,-3)と垂直より
x+4(y-1)-3z=0
∴ x+4y-3z-4=0


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