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x軸で接し、2点(1,1)、(4,4)を通る二次関数のグラフの方程式を求めよ

解答ではa(p-1)^2=1…① a(p-4)^2=4…② として
②÷①をして、p=±2となっていたんですが、これ以外にやり方はないのでしょうか?
どなたかわかる方いますか?

A 回答 (11件中1~10件)

>y=a(x-p)+q でも y=a(x-p)^2+q でも どちらでもいいんですか?



いいえ、NO7 さんの ミスタイプです。
y=a(x-p)²+q でなければ なりません。
これが x 軸と接するのですから、x=p の時 y=0 になります。
つまり q=0 で y=a(x-p)² で 考えれば よいことになります。
これなら 未知数は a と p の2つで 式が 2つ出来ますから、
連立方程式で 答えが出せる と言う事になります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。分かりやすいです!

お礼日時:2024/04/08 21:28

回答を訂正。

放物線の方程式は

y=a(x-p)^2+q

でしたね。二乗を書き忘れていたようです。大変失礼しました。
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この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます!

お礼日時:2024/04/08 21:28

f(x)=y=ax^2+bx+c


微分して f'(x)=2ax+b
x軸で接しているので f'(x)=0 即ち 2ax+b=o ∴ x= - b/(2a)
このとき x軸 即ち y=0 だから
f(-b/(2a))=0
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f(x)=y=ax^2+bx+c


f(1)=a+b+c=1
f(4)=16a+4b+c=4
f(-b/(2a))=0 (軸位置でy=0)
で解けるよ。
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高校数学で習う範囲での二次関数(放物線)の方程式は一般に



y=a(x-p)+q

と言う形で書けますが、x軸に接するのだからqは0すなわち

y=a(x-p)

と書けます。なので点(1,1)を通る場合は

1=a(1-p)…①

そして点(4,4)を通る場合は

4=a(4-p)…②

後は①と②を連立方程式として解けば求められるはずです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。y=a(x-p)+q
でもy=a(x-p)^2+qでもどちらでもいいんですか?

お礼日時:2024/04/08 20:37

>これ以外にやり方はないのでしょうか?



一般的な 二次関数 y=ax²+bx+c としたのでは、
x 軸との接点も分からないのですから、未知数が多すぎます。
出来ないことはない筈ですが 適切ではないでしょうね。

グラフで考えれば 与えられた2点は 第1象限ですから、
x² の係数は 正で、x軸接点の 座標を (n, 0) とすると、
1<n<4 と n<1 の 二通りあることが分かりますね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やっぱり難しいですよね。

お礼日時:2024/04/08 20:36

なぜ皆「x軸で接し」をスルーして解きはじめてしまうかなあ?


「コンビニでガムが売ってた」派なの?
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求めるべく方程式を


y=ax²+bx+cとおく
グラフがx軸と接するなら
ax²+bx+c=0は重解となるから
判別式D=b²-4ac=0…①
グラフが(1、1)を通るなら
1=a+b+c…2
(4、4)を通るなら
4=16a+4b+c…3
連立方程式を解く
でも、できそうですが面倒くさい…
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。やっぱりめんどくさくなっちゃいますよね。

お礼日時:2024/04/08 20:34

a(p - 1)^2 = 1 …①


a(p - 4)^2 = 4 …②

の連立方程式を解くのだから、②÷① 以外、かつ #1 さん以外の方法であれば、①②を展開して
 ap^2 - 2ap + a = 1    ①'
 ap^2 - 8ap + 16a = 4   ②'
①' - ②' より
 6ap - 15a = -3   ③
→ a(2p - 5) = -1
p ≠ 5/2 なので(p = 5/2 なら右辺は「0」でないといけないから)
 a = -1/(2p - 5)   ④

これを①に代入して
-(p - 1)^2 /(2p - 5) = 1
→ p^2 - 2p + 1 = -2p + 5
→ p^2 - 4 = 0
→ (p - 2)(p + 2) = 0
よって
 p = ±2

これを④に代入すれば
p = 2 のとき
 a = -1/(4 - 5) = 1
p = -2 のとき
 a = -1/(-4 - 5) = 1/9

従って、求める関数は
 y = (x - 2)^2
または
 y = (1/9)(x + 2)^2


あるいは、③から
 6ap = 15a - 3
→ p = (5a - 1)/(2a)   ⑤
として①に代入して
 a[(5a - 1)/(2a) - 1]^2 = 1
→ a[(5a - 1) - 2a]^2 = 4a^2
→ a(3a - 1)^2 = 4a^2
→ 27a^3 - 6a^2 + a = 4a^2
→ 27a^3 - 10a^2 + a = 0
a ≠ 0 なので
 27a^2 - 10a + 1 = 0
→ (9a - 1)(a - 1) = 0
よって
 a = 1/9, 1

これを⑤に代入すれば
 a = 1/9 のとき p = (5/9 - 1)/(2/9) = -2
 a = 1 のとき p = (5 - 1)/2 = 2

連立方程式は、いろいろな方法で解けます。
ゴリゴリやればよいだけ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。中々難しいですね...

お礼日時:2024/04/08 20:39

x軸で何に接するの?


それ次第じゃない?
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