数学の３大分野、代数・幾何・解析

数学の３大分野は、代数・幾何・解析といわれると思います。

僕もそれには一応納得できますが、なんらかの違和感を持っています。

数学を表現するのに、記号や数学的文字や数式や論理式などを含む文字的側面と、図形的側面に大別されると思います。

それで、代数・幾何が対照的に思いますが、解析という分野の位置づけが僕にはあいまいなのです。

たとえば、別の何かと比較して、解析という分野の位置づけをとらえれないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Ama430 回答日時： 2006/08/06 09:59

初等数学の「単元」をあげると、

「式の計算」「方程式」「関数」「平面図形」「空間図形」「確率・統計」
となります。

「式の計算」「方程式」が代数分野
「平面図形」「空間図形」が幾何分野です。

「関数」は広い意味では解析分野で
「確率・統計」は統計分野とくくったら良いでしょうか。

統計分野は数理的統計であっても、抽象化に限界がありますし、抽象化していくと、確率密度変数を扱う関数の研究が主命題になります。
ですから、わかりやすい分類としては、「代数・幾何・解析」とする考え方があるのでしょう。

ただ、あくまでこれは話をおおづかみにとらえるための方法であって、座標で図形を扱う解析幾何学では方程式が頻繁に出てきますし、微分積分に代数計算が必要であることは言うまでもありません。

しいて、「解析」の反対の概念をさがすなら、「解析しない数学」つまり、動かない数の世界である「算数」のことになるのではないでしょうか。

No.5 回答者： scale--free 回答日時： 2006/08/07 21:32

私はとある講演で次のようなことを聴いたことがあります。

幾何は方程式を立てる。
解析はその方程式の解の存在を調べる。
代数は解を記述・表現する。

もちろん、これは幾何・解析・代数の役割の一部を述べたものですが、
現代数学では幾何・解析・代数の関わりは複雑になっています。

例えば、微分幾何学のある分野では、（非線形）解析は欠かすことのできないものになっています。

この回答へのお礼

みなさま、ありがとうございました。
まだまだ、もどかしい思いはありますが、参考になりました。

お礼日時：2006/08/31 01:48

No.4 回答者： fronteye 回答日時： 2006/08/07 09:40

数学を代数・幾何・解析に分類するのは、おそらく明治時代に作られた大学設置基準に「数学科ではこの３分野を開講する」といった内容が記されているからだと思います。

学士の認定には、この３分野をそれぞれ何単位以上か修得する必要があったと思います。
だから大学では新しい講座を開設するたびに、この３分野のどれかに無理やりにでも当てはめようとします。(「その他」という分類もあったと思うが？)
でも、実際の現代数学でこの３分野の分類が意識されることはほとんどないでしょう。

質問への直接的な回答にはなっていませんが、参考になれば。

No.1 回答者： tuort_sig 回答日時： 2006/08/05 09:39

敢えて位置づけをするなら、解析は代数と幾何の中間（？）。

理由は、方程式系の解析では代数が必須であり、多様体の解析では幾何を扱うから。