『代数幾何についての疑問』

代数幾何について、今さらの疑問があります。それは、線分とか面積といった幾何学的量（量ということにします）に数字を対応させることの正当性というか妥当性について、何らかの理論的根拠があるのか？ということなのです。
ある長さの線分があったとして、その長さに、適当に１とか２という数値を当てはめてもよいことの根拠はどのように保証されているのでしょうか？
直線上に適当に点を打って、各点に１とか２という数字を割り振ったり、直線上には実数がいたるところ稠密に分布しているといったことは、単に仮定的に前提しているだけなのではないか。それを疑わずに、幾何学的な図形や曲線を数値化、数式化できるものとし、具体的な図形を離れて数式上の操作に特化して、無限や極限を持ち込むから、面を埋め尽くす曲線とか、１.２次元といった半端次元のような常識的には一瞬、受け入れ難い数学上の事象とでもいうべきことがあることになってしまうのではないのか、という疑問があるのです。
もちろん、幾何学的量の数値化、数式化が間違っているということもできませんが、保証している証明なども見たことがないし、恐らく今までなかった、これからも現れることはないのかもしれません。
結局、幾何学的量に数字を対応させることを疑っても何もいいことはないし、すごく便利で、今までうまくいってきた。fractal図形のような少々まごつかせる結果も導かれるけれど、極めて上々の成果が得られているのだから、このまま行こうじゃないか、というところなのかな？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/08 18:57

絵で見て直感する線分とか面積とかのイメージと対応するのか？と言えば、

それは主観的評価によるしかなく、数学の外部の話になります。

数学をする上では、「線分」とか「面積」とかの語が指すものは
それぞれの語の定義として与えられたものでしかなく、
同じ言葉が日常の言語で指す図形的印象とは何の関係もありません。

例えば「面積」は、紙の上に描かれた図形の「広さ」を表したものではなく、
形式的に定義された、とある二次元「測度」の値に過ぎない。
それを「広さ」と結びつけて考えるのは、単に気分の問題です。

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/05/08 18:38

>>理論的根拠があるのか？

無いですよ。
定義とか公準で定めてるだけです。
それで矛盾が起きなければ良い訳です。

これは形式科学(数学)の根本原理です。
面積で言うと、1辺が1の正方形の面積を1と定めてるだけです。

図形を適当に半分に切って、各々の面積の和が、元の面積と同じになる事が保証されれば良いのです。

定義とか公準は証明出来ません。
定義・公準を出発点としている形式科学(数学)の体系では、その体系に矛盾が有るか無いのかも、自分では証明出来ません。

形式科学(数学)ってそういうものです。