数学II ベクトルの内積問題について

高一です。以下の問題が分からず困っています。
(ちなみに→aというのはaベクトル、｜a｜は絶対値aのつもりです。
記号が分からなかったので適当におかせていただきました)

問一　ΔABCは,AB=√34,BC=4であり,ベクトルの内積に関して
　　　→AB×→BC = 3→BC×→CA が成り立つとする.
　　　線分BCを3:1に内分する点をHとし,→HA=→a,→HB=→bとおく.

　　　(1) →aと→bが直角に交わることを示せ.
　　　(2) ｜→a｜,｜→b｜を求めよ.
　　　(3) 内積→CA×→ABの値を求めよ.

問二　平面上にΔOABがあり,OA=5,OB=6,AB=7を満たしている.
　　　s,tを実数とし,点Pを→OP=s→OA＋t→OBによって定める.

　　　(1) s,tが s,t≧0, 1≦s＋t≦2 を満たすとき,
　　　　 点Pが存在し得る範囲分の面積を求めよ.
　　　(2) s,tが s,t≧0, 1≦2s＋t≦2, s＋3t≦3 を満たすとき,
　　　　 点Pが存在し得る範囲分の面積を求めよ.

問三　ΔOABの辺AB,OBの長さをそれぞれ a,b とする.
辺OA上に OE:EA=1:4 となるように点Eをとる.
　　　線分OCと線分BE,ADとの交点をそれぞれP,Qとし,
線分ADと線分BEの交点をRとする.
　　　→a=→OA,→b=→OBとする.

　　　(1) →PQを→a,→bで表せ
　　　(2) →PRを→a,→bで表せ
　　　(3) ｜→a｜=√5,｜→b｜=1, →a×→b = 1のとき,ΔPQRの面積を求めよ

さっぱりです。明日試験があるというのに…
教えていただけると幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/04 03:09

　問２。

　（１）は、＃１さんが良く解説しておられます。
　△ＯＡＢの面積をＳとしますと、求める面積は　３Ｓ　になります。
　なお、△ＯＡＢの面積は、３辺の長さが分かっていますので、ヘロンの公式を使います。

　　Ｓ＝√｛s(s-a)(s-b)(x-c)｝　　ただし、s＝(a+b+c)/2


　（２）は、半直線ＯＡ上に、ＯＡ’＝２ＯＡとなるような点Ａ’をとり、同様に、半直線ＯＢ上に、ＯＢ’’＝３ＯＢとなるような点Ｂ’’をとってください。
　このとき、求める図形は、△Ａ’ＡＢと△Ｂ’’ＡＢの重なった部分です。

　辺ＡＢの長さは分かっていますので、あとは重なってできた三角形の高さが分かれば求められます。

　　1≦2s＋t≦2　　・・・（あ）
　　s＋3t≦3　　　・・・・（い）

　（あ）×２＋（い）　を作りますと、

　　5(s+t)≦７
　∴s+t≦7/5

と求められますので、重なってできた三角形の高さは

　　７／５－１＝２／５

と分かります。
　このことから、求める図形の面積は、

　　２Ｓ／５

と導かれます。

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/05 00:01

　＃２／＃３です。

　もう用は済んだでしょうが、＃３に誤りがありましたので、下記の通り訂正させてください。

＞　（２）は、半直線ＯＡ上に、ＯＡ’＝２ＯＡとなるような点Ａ’をとり、同様に、半直線ＯＢ上に、ＯＢ’’＝３ＯＢとなるような点Ｂ’’をとってください。
＞　このとき、求める図形は、△Ａ’ＡＢと△Ｂ’’ＡＢの重なった部分です。

（正）
　（２）は、半直線ＯＡ上に、ＯＡ’’＝３ＯＡとなるような点Ａ’’をとり、同様に、半直線ＯＢ上に、ＯＢ’＝２ＯＢとなるような点Ｂ’をとってください。
　このとき、線分ＡＢ’と線分Ａ’’Ｂとの交点を点Ｃとして下さい。
　また、半直線ＯＡ上に、ＯＡ’’’＝ＯＡ／２となるような点Ａ’’’をとってください。

　ここで、求める図形は、四角形Ａ’’’ＡＣＢ　になります。

　　四角形Ａ’’’ＡＣＢ＝△Ａ’’’ＡＢ＋△ＣＡＢ

　△ＣＡＢは、＃３で求めたように、２Ｓ／５　です。
　また、△Ａ’’’ＡＢは、Ｓ／２　です。

　従って、求める図形の面積は、

　　２Ｓ／５＋Ｓ／２＝　９Ｓ／１０

となります。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/03/04 02:50

　先ず、問１のみ。

　準備として、→ＡＢ、→ＢＣ、→ＣＡを→ａと→ｂだけで表しましょう。
　そうすると、次のようになるはずです。

　　→ＡＢ＝→ｂ－→ａ
　　→ＢＣ＝－４／３　→ｂ
　　→ＣＡ＝→ＢＡ－→ＢＣ＝→ａ＋→ｂ／３

　（１）　→ＡＢ、→ＢＣ、→ＣＡを内積の条件式に代入していくと、次の式が導かれると思います。

　　→a・→b＝０
　∴→a　⊥　→b

　（２）は、（１）の結果から、ＡＨ⊥ＢＣですので、△ＡＢＨで三平方の定理を使えば、ＡＨの長さが分かりますので、|→a｜が求められます。
　|→b|は点Ｈが辺ＢＣを３：１に内分していることからＢＨの長さが分かり、求められます。

　（３）は、準備で表した→ＣＡと→ＡＢを代入していくだけです。
　　|→a|＝５、|→b|＝３、→a・→b＝０　と求められているので、計算できると思います。

No.1 回答者： piro19820122 回答日時： 2009/03/04 02:41

■問１

関係する全てのベクトルをABとBCで表す（ABとAC等でも構わない）。
CA = -AC = -(AB+BC) = -AB-BC
BH = 3/4 BC
HA = -AH = -(AB+BH) = -AB-(3/4)BC
条件 AB・BC = 3BC・CA に代入したり、HA・HB に代入したりすれば良い。

■問２(1)
s+t=1 なら線分AB上を動く。
s+t=2 なら線分A'B'上を動く (OA'=2OA,OB'=2OB)。
したがって、点Ｐが存在しうる範囲は、△OA'B'の範囲から△OABの範囲を除いた部分。

■問３
点Ｃと点Ｄの定義は？

■余談
ベクトルで「×」を使うと、外積の意味になるので注意してください。