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三点の座標から中心点の求め方

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  • 質問者：kamyamu
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

三点の座標から中心点を求める公式は以下のHPからわかったのですが、なぜこのような式が成り立つのかがわかりません。

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-Oakland …

分かる方がおられましたらお教え頂けないでしょうか。
参考URLがありましたらそちらでも構いません。
宜しくお願いします。

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「円周の求め方」に関するQ&A： 円周率の求め方

A 回答 (3件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： kou95
  • 回答日時：

表記されているサイトの考え方では三点を周上に含む円の中心を求めています。


円の定義というのはある１点から距離の等しい点の集まりです。
そこから考えれば円の中心点というのは、円周上の全ての点から距離の等しい点ということになります。
なので、中心点を求めるということは三点から距離の等しい点を求めればよいことになります。
三点を取れば一点に決まるためそれ以上は取らなくてもかまわないからです。

二点を結ぶ線分の垂直二等分線が二点間から距離の等しい点の集まりですから、サイトの表記方法に倣うとP1とP2の垂直二等分線とP2とP3の垂直二等分線の交点はP1,P2,P3の三点からの距離が等しい、すなわち三点を円周上に含む円の中心ということになります。

※質問者の方のレベルがどの程度かわからないのでこのような簡易的な回答にしました

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
こちらの理解レベルを示していなかったためにお手数をおかけしました。

おおよそ、Kou95さんの回答して頂いた内容までは理解しております。
知りたい内容というのは公式の証明にあたる部分でして、その辺の明記をしていなかったことをお詫びします。
ですが、ご丁寧な解説はわかりやすく感謝しております。

二度手間になってしまうので申し訳ありませんが、
もし公式の証明方法やそれに関係することで何か知っておられましたら、
そちらの解説もお願いしてもよろしいでしょうか？
もちろんお暇のある時で構いませんし、知っている場合のみで構いません。

宜しくお願い致します。

補足日時：2004/12/25 08:00
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No.3

  • 回答者： kou95
  • 回答日時：

公式の証明というのはサイトの下に出ている計算式のことでしょうか？


それであればNo.2の方が答えている通りです
ベクトルの内積を利用して方程式を立てれば答えは同じになるはずです。計算は多少面倒くさいですが難しい計算ではないので答えは求まるはずです。

サイトでは答えを表記するのにすっきりとさせるためにＡ～Ｅの記号を使っています。
これは証明の書き方の話になりますが、証明というのは必ずしもどのように考えたかということを書く必要はありません。結果が導かれてさえすればよいのです、Webスペース上であればアップできるファイルサイズの問題や表記方法に限りがあるのであのような形で書かれているのでしょう。
サイトでは単に計算の過程を省略しているだけのことです。

計算方法はこのようなベクトルを利用する以外に座標と距離の関係で幾何学的にやっても結果は同じです。

根本の概念はNo.1で記した通りですので後は計算するだけで問題はないです。
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この回答へのお礼

２度にわたってありがとうございます。

親切なご回答とてもありがたいです。
これからも利用する機会があると思いますので宜しくお願い致します。
いつか自分でも回答の立場に立てるようになりたいですね。

それではお世話になりました。

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お礼日時：2004/12/27 14:41

No.2

  • 回答者： Kemi33
  • 回答日時：

　式を書いていくと煩雑になるのと，そこまでしなくても理解されると思われますので，考え方だけ簡単にアドバイスいたします。



　まず，２点P1, P2 及び２点P1, P3 の中点の座標は（(x1+x2)/2, (y1+y2)/2）と（(x1+x3)/2, (y1+y3)/2）になります。

　線分P1P2の中点と円の中心（X, Y）を結ぶ線分が線分P1P2と垂直ですから，両者のベクトルの内積が０になります。これを式に表します。

　同様に，線分P1P3の中点と円の中心（X, Y）を結ぶ線分と線分P1P3のベクトルの内積も０になります。これも式に表します。

　得られた２つの式を解いて X, Y を求めると A, B, C, D, E に対応する項が出てきます。

　お書きのＨＰの式は見やすいように A, B, C, D, E の項を使って表示したものだと思います。何らかの関係から，A, B, C, D, E が求まって，そこから X, Y が求まったものではないでしょう。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど、そういう仕組みだったんですね。
納得できました。
要点が上手くまとまっていてとても分かりやすく、助かりました。
本当にありがとうございます。

私もいつか誰かの質問に同じようにわかりやすく説明してあげられるようになりたいです。
お世話になりました。

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お礼日時：2004/12/27 14:38

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円弧３点の座標から円の中心座標と半径の求め方をお願いいたします

Aベストアンサー

円の方程式の一般系は、
x^2 + y^2 + lx + my + n = 0である。
三点を(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)とすると、
これらを代入すれば、

(x1)^2 + (y1)^2 + l(x1) + m(y1) + n = 0---(1)
(x2)^2 + (y2)^2 + l(x2) + m(y2) + n = 0---(2)
(x3)^2 + (y3)^2 + l(x3) + m(y3) + n = 0---(3)

(1)(2)(3)のl,m,nに関する３元連立方程式となるので、
これをとき、それぞれの解を求める。
そして,求まった解をそれぞれ、l',m',n'とおく。
後は、x^2 + y^2 + l'x + m'y + n' = 0とし、
以下のように変形していく。

(x + l'/2)^2 + (y + m'/2)^2 + n' - (l'/2)^2 - (m'/2)^2 = 0
(x + l'/2)^2 + (y + m'/2)^2 = {(m'/2)^2 + (l'/2)^2 - n'}

これにより、円の中心の座標は、(-l'/2,-m'/2)であり、
円の半径は、√{(m'/2)^2 + (l'/2)^2 - n'}となります。

円の方程式の一般系は、
x^2 + y^2 + lx + my + n = 0である。
三点を(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)とすると、
これらを代入すれば、

(x1)^2 + (y1)^2 + l(x1) + m(y1) + n = 0---(1)
(x2)^2 + (y2)^2 + l(x2) + m(y2) + n = 0---(2)
(x3)^2 + (y3)^2 + l(x3) + m(y3) + n = 0---(3)

(1)(2)(3)のl,m,nに関する３元連立方程式となるので、
これをとき、それぞれの解を求める。
そして,求まった解をそれぞれ、l',m',n'とおく。
後は、x^2 + y^2 + l'x + m'y + n' = 0とし、
以下のように変形していく。

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Aベストアンサー

3点が１平面上にあって、これらを通る円というのは気がつきませんでした。
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円はこの平面では円でもｘｙ平面に投影すると楕円になるところがにくいところです。

（解答)
円の中心座標をP(x,y,z)、半径をrとすると
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=r^2 (1)
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2　　(2)
(x-2)^2+y^2+(z-6)^2=r^2　　　　(3)

(2)－(3)より
x+y+z=19/2 (4)
(1)－(3)より
x+2y+5z=17　　(5)

点P(x,y,z)、A(1,-2,1)、 B(3,1,7)、 C(2,0,6)
が1平面状にあることから

行列式
|x, y,z,1|
|1,-2,1,1| = 0
|3, 1,7,1|
|2, 0,6,1|

4行目を各行から引いて
|x-2, y,z-6,0|
| -1,-2, -5,0| = 0
| 1, 1, 1,0|
| 2, 0, 6,1|

|x-2, y,z-6|
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展開して

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3点が１平面上にあって、これらを通る円というのは気がつきませんでした。
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円はこの平面では円でもｘｙ平面に投影すると楕円になるところがにくいところです。

（解答)
円の中心座標をP(x,y,z)、半径をrとすると
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=r^2 (1)
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2　　(2)
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過去質問を探してみましたが、みんな連立方程式で解けば良いとおっしゃっていまして…

Aベストアンサー

地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2　(1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2　(2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2　(3)

(1)-(2)
(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
(x1-x2)(x1+x2-2p) + (y1-y2)(y1+y2-2q)=0
-2(x1-x2)p -2(y1-y2)q +x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2 =0

(1)-(3)
-2(x1-x3)p -2(y1-y3)q +x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2 =0


p = {(y1-y3)(y1^2 -y2^2 +x1^2 -x2^2) +(y1-y2)(y1^2 -y3^2 +x1^2 -x3^2)} / {2(y1-y3)(x1-x2)+2(y1-y2)(x1-x3)}

q = {(x1-x3)(x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2) +(x1-x2)(x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2)} / {2(x1-x3)(y1-y2)+2(x1-x2)(y1-y3)}


とかなり複雑な式になりました。
計算がどこかで間違っているかもしれませんが、残念ながらあまり美しくはなりませんね。

地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2　(1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2　(2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2　(3)

(1)-(2)
(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
(x1-x2)(x1+x2-2p) + (y1-y2)(y1+y2-2q)=0
-2(x1-x2)p -2(y1-y2)q +x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2 =0

(1)-(3)
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　円の方程式
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#3の続きです。
e=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2
を展開して、
e = -2ax -2by + a^2+b^2-r^2 + x^2+y^2
となるので、
A = -2a
B = -2b
C = a^2+b^2-r^2
とおくと
e = xA + yB + C + x^2+y^2
となります。ここで、上式に４点の座標を代入して、両辺を足し合わせた結果を簡便に表す(ちょっとインチキですが我慢して下さい）ために次のようにおきます。
X = xに関する和
Y = yに関する和
（たとえば、XY=x1*y1 + … + x4*y4という意味）
E = e1 + e2 + e3 + e4
したがって、
E = XA + YB + C + X^2+Y^2
両辺を自乗して、
E^2 = ( XA + YB + C + X^2+Y^2 )^2
この式をA,B,Cそれぞれについて偏微分して０とおくと
X^2*A + XY*B + X*C + X(X^2+Y^2) = 0
XY*A + Y^2*B + Y*C + Y(X^2+Y^2) = 0
X*A + Y*B + C + (X^2+Y^2) = 0
という式が得られます。これをA,B,Cを変数とする連立方程式として解いて、変数変換したときの式で元にもどせば円の式が得られます。このとき上記の式において、XYに関する記述は次の意味なのでご注意下さい。
X^2 = x1 + … + x4
XY = x1*y1 + … + x4*y4
X = x1 + … + x4
X(X^2+Y^2) = x1*(x1^2+y1^2) + … + x4*(x4^2+y4-2)
Y^2 = y1^2 + … + y4^2
Y = y1 + … + y4
Y(X^2+Y^2) = y1*(x1^2+y1^2) + … + y4*(x4^2+y4-2)
(X^2+Y^2) = x1^2+y1^2 + … + x4^2+y4-2

連立方程式を解く部分はmaririn222さんに委ねます。
言うまでもないことですが、４点に対しての式を書きましたが、４点以上の何点でも適用できることは明らかですよね。

#3の続きです。
e=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2
を展開して、
e = -2ax -2by + a^2+b^2-r^2 + x^2+y^2
となるので、
A = -2a
B = -2b
C = a^2+b^2-r^2
とおくと
e = xA + yB + C + x^2+y^2
となります。ここで、上式に４点の座標を代入して、両辺を足し合わせた結果を簡便に表す(ちょっとインチキですが我慢して下さい）ために次のようにおきます。
X = xに関する和
Y = yに関する和
（たとえば、XY=x1*y1 + … + x4*y4という意味）
E = e1 + e2 + e3 + e4
したがって、
E = XA + YB + C + X^2+Y^2
両辺を...続きを読む

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