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一つの答えはx=1ということしかわかりません。
どなたが解き方を教えてください!

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A 回答 (11件中1~10件)

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解)1の虚5乗根をの1つをωとすると
ω、ω^2、ω^3、ω^4、ω^5=1
が答えになる。
[答え]1、ω、ω^2、ω^3、ω^4
    ただし、ωは1の虚5乗根の1つたとえば、ω=cos(2π/5)+i sin(2π/5)
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別解)
x^5=1
x^5-1=0
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
ゆえに、(x-1)=0,or,(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
x-1=0のとき、x=1

x^4+x^3+x^2+x+1=0のとき、x^4+x^3+x^2+x+1=0のとき、
両辺をx^2でわると、
x^2+x+1/x+1/x+1/x^2=0、
(x^2)+(1/x^2)+(x)+(1/x)=0、
ここで
(x) +(1/x)=tとおくと、
(x^2) + (1/x^2) =(t^2)-2
与式=(t^2)-2+t=0
(t-2)(t+1)=0
t=2、or,t=-1
すなわち、(x) +(1/x)=2、or,-1
つまり、
(x^2)+1=2x、
or,(x^2)+1=-2x
となる。
以下、2つの2次方程式はそれぞれ2虚解が出るから全部で、
4虚解が出る。(解の公式で導ける)
以上で、1実数解x=1 と4虚解の合計5つの解がもとまる。
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この回答へのお礼

別解の方を参考にさせていただきたいと思います

ありがとうございました

お礼日時:2002/10/01 22:04

どうも質問者さんは、x^4+x^3+x^2+x+1=0の解を求めたいようで。



この方程式は、左辺に特徴があります。どのような特徴かというと
n次方程式において、
・n次と0次の項の係数が等しい
・(n-1)次と1次の項の係数が等しい
・(n-2)次と2次の項の係数が等しい
・・・
一般にn次方程式において、「a+b=nとなるすべての非負整数(a,b)の組に対してa次の項とb次の項の係数が等しい」方程式を「相反方程式」と呼んだりします。

この方程式は、
・偶数次(n=2k)のとき、両辺をx^kで割り(x=0は明らかに方程式の解ではないことによりこの割算は有効)、x+(1/x)=tとおくことにより、k次方程式(と2次方程式)を解く問題に帰着できる。
・奇数次(n=2k+1)のとき、x=-1が1つの解となり、左辺を(x+1)(...)の形に因数分解したとき、このカッコ内も相反形となるため、偶数次の問題に帰着可能。
という特徴があります。

ちょっと知っていないと厳しいかもしれませんが、高校(1年?)の因数分解か高次方程式あたりのちょっと発展問題には、必ずこのテーマが入っていると思います。
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ド・モアブルの定理より z=r・(cosθ + i sinθ)とおくと


z5=r5・(cos5θ + i sin5θ)=1
r5=1なのでr=1になり、(cos5θ + i sin5θ)=1は実数なので
cos5θ=1、sin5θ=0になります。このときcos5θ=1を考えると5θ=0°,360°などなので5θ=0°+360°×Kとなり、θ=72°×K K=0,1,2,3,4
よってz=cos72°+ i sin72°....になります
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この回答へのお礼

ドモアブルの定理!
先生がよくゆってたなぁ。
テストにも出たし。。

ありがとうございました

お礼日時:2002/10/01 21:56

複素数平面を使うと、


x=cos(72n)+isin(72n)(n=0,1,2,3,4)
が答えとなるので、
72°とかの三角関数の値を求めますか?

いろいろな考え方はあるでしょうが、36°=180°÷5を基調とした角度ですので、
代表的な以下の問題におとしこめますね。

(考え方1)
t=36°として、cos(3t)=-cos(2t)を解くことによりcos(t)を求める。

(考え方2)
正五角形の隣り合う3点をとってできる三角形は底角36°の二等辺三角形で、等辺を1とすると対角線は(1+√5)/2(有名問題で、中学で相似を用いて一度は求めたことがあるでしょう)

ということで、cos36°=(1+√5)/4
このあたりから攻め始めれば、必要数値はすべて手に入るのでは?
ちなみにsin36°={√(10-2√5)}/4となり、二重根号は避けられなさそうですね。
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この回答へのお礼

複素数は苦手分野だったので、考えるのが大変そうです。
懐かしいです。

ありがとうございました

お礼日時:2002/10/01 21:54

 解答はテキストで書くには複雑で、途中式も同様です。

あなたが中学生か高校生かわからないですが、最近の高校では確か複素平面を扱うそうですから、一つ変わったやり方を紹介しましょう。
 実は複素平面を使えるなら公式?があります。ただし三角関数もできないといけません。1のn乗根は、i^2=-1,
PI=円周率、k=0からn-1(つまりこの問いの場合0から4までを順に当てはめれば5つの答えが出ることになります)として、1のn乗根は

cos(2 k PI /n)+i sin(2k PI /n)
(kに0から4までを当てはめる)

になります。つまり複素平面上で5回で1回転すれば良いわけですね。くわしくは下のURLを参照して下さい。

 いろいろなことを言う人がいます。無論、自分で考えることも大切です。でも、社会にでたら助っ人でもコンピュータでも何でも使えます。適当にバランスを取ってがんばってください。(受験するならそういうのは全く通らないので、せいぜい勉強してください)。
(書いているうちに下の人とだぶっちゃった)

参考URL:http://www.interq.or.jp/student/suugaku/suuron/n …
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この回答へのお礼

複素数ですね。

受験は終わった身なので、気軽な気持ちで数学の問題を解いてみようかな~
なんて思ったのが間違いでしたかね(笑)
数学から離れて2年も経つと、忘れる忘れる・・・
しまいにはこんな問題やったっけ?なんて・・

ありがとうございました

お礼日時:2002/10/01 21:52

そうか・・・私の一つ下から複素数がカリキュラムにあったんだ^^;(年齢ばれるなあ・・・)



複素数使えば#5の回答が一番わかりやすいですね。
(純粋な感想)
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かなり前にやったことなので途中経過とかは覚えていないのですが、


こういう場合は、複素数を考えます。
x軸に実部、y軸に虚部として複素平面を書き、半径1の円を書きます。
もしxの5乗=2であれば、2の5乗根を半径とする円を書きます。

答えをx=r・(cosθ + i sinθ)とおくと {x=r・exp (iθ)とも おけます。}

rは、1の5乗根なので、1とできます(rは実数なので)
次に、x(=r・exp (iθ))を2乗すると
r・exp (iθ)×r・exp (iθ)
=r^2・exp[i(θ+θ)]となりますよね。
つまり同じものを2回掛ける(2乗する)というのは、複素平面状でθを2倍にすることを表わしています。つまり5乗するというのはθを5倍することにあたります。
1というのは、複素平面上でいうθ=0度の点です。
つまり0度というのは360度、720度・・・360×n度(nは整数)と同じですから、仮に360度とすると、
5倍して360度になるようなθを求めれば、5乗すると1になります。
これよりθは72度になります。同様に5倍して720度になるものは144度、・・・360×n度の場合は、72×n度となります。

これらをまとめるとr=1、θ=(72×n)度:(nは整数)
これをx=r・(cosθ + i sinθ)に代入したものが答えとなります。
通常θは、0度から360度を取るので、nの値は0~4で
その時のθは0、72、144、216、288度となり
xの答えは5つということになります。
ちなみにθ=0度の時が、X=1に相当しています。

かなり適当な説明でわかりにくかったと思いますが。。。
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この回答へのお礼

複素数。。。懐かしいです(笑)
xの5乗=1という式は見たことがあるような、無いような・・・
という曖昧な記憶でした。
教科書の例題などを見て見ましたが、例題には似た問題さえもありませんでした。

ありがとうございました

お礼日時:2002/10/01 21:48

訂正です。


(x-1)(x^4+x^3+x^2+x^1+x+1)=0
ではなく
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
です。

あと答えは一応5つでました。(すごい形になりましたが・・・)
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やっと解けた^^;頭の体操になった^^



#2の方はlogを使うといってらっしゃいますが使わなくても解けます。
#2の方の意見を尊重して始めの部分だけ。
x^5-1=0
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x^1+x+1)=0
ここまでは分かると思います。

ここからはヒント。
(x+1/x)^2=x^2+2+1/x^2
X=0ではない。

あとはがんばって^^
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この回答へのお礼

多分先生が求めている解答方法はこれです。
私も式が(x-1)を使うことはわかったのですが、
その後が詰まってしまいました。

がんばります、
ありがとうございました

お礼日時:2002/10/01 21:45

logを用いた解き方があります。


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この回答へのお礼

logを使うという
ヒントを与えてくださり、ありがとうございました。

お礼日時:2002/10/01 21:41

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