０の積分

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質問者：noname#134406
質問日時：2010/07/29 02:04
回答数：2件

０の積分

０を積分すると０になるんですか？それとも、定数のCで表すんですか？

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： sanori
回答日時：2010/07/29 02:54

こんにちは。

不定積分ならばＣ、定積分ならばゼロです。

ｆ（ｘ）＝　０　の原始関数Ｆは、　Ｆ（ｘ）＝　Ｃ

したがって、
不定積分ならば
∫０ｄｘ　＝　Ｆ（ｘ）＝　Ｃ
　　（ｘが何でも、Ｆ（ｘ）＝　Ｃ　）

定積分ならば
∫[x=a⇒b]０ｄｘ　＝　Ｆ（ｂ）　－　Ｆ（ａ）
　＝　Ｃ　－　Ｃ
　＝　０

- 0
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この回答へのお礼

なるほど、よく分かりました。ありがとうございます。

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お礼日時：2010/07/29 07:34

No.1

回答者： yespanyong
回答日時：2010/07/29 02:39

関数ｙ＝０を変数ｘで積分したと考えたときの不定積分の値は積分定数Ｃです。

関数ｙ＝０を変数ｘでａからｂまで定積分したと考えたときの積分値は０です。

- 0
- 件

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この回答へのお礼

不定積分と定積分で値が違うんですね。ありがとうございました。

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お礼日時：2010/07/29 07:35

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そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(＊)はtを用いて
(＊)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ：項数が増え
ロ：個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + ……　+ 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界（どんなnをとってきても(1+1/n)^n＜MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3）です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
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「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
（証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います）

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(＊)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する（収束値をeと名付ける）
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
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（注：冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
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最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
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