ブロムウィッチ積分による逆ラプラス変換

Question

F(s)=1/(√s+c)

の逆ラプラス変換をブロムウィッチ積分

f(t)=L^(-1)F(s)={1/(2πi)}∫[c-ip→c+ip]F(s)e^(st)ds (t>0)

を用いて解く問題が分かりません。分岐点がどこかから躓いてます。

√s=-cなので、√s=√x(cosθ+i・sinθ)よりθ=-π,x=c^2とすればよいでしょうか。

その場合、積分路の取り方と、計算方法をご教示頂けると助かります。

Ae610 · Accepted Answer

直接の回答にはならないが、1/((√s)+c)のラプラス逆変換invL{1/((√s)+c)}がどんな原関数になるのか興味があったので簡易的に計算してみた・・!
今、1/((√s)+c)を変形してみるとs' = s/c^2としてs'の式に置き換える

1/((√s)+c)= (1/c)・{-1/(s'-1)+1/(√s')+1/(√s'・(s'-1))}
= (1/c)・{-c^2/(s-c^2)+c/√s+c^3/√s・(s-c^2)} (s'を元のsに戻す)
= -c/(s-c^2)+1/√s+c^2/(√s・(s-c^2))

∴invL{1/((√s)+c)} = c・invL{-1/(s-c^2)}+invL{1/√s}+c^2・invL{1/(√s・(s-c^2))}
= -c・exp(c^2・t)+1/√(πt)+c^2・(1/c)・exp(c^2t)・erf(c√t)
= 1/√(πt)－c・exp(c^2・t){1-erf(c√t)}
= 1/√(πt)－c・exp(c^2・t)・erfc(c√t)

--------------------------
ここでお詫び
以前、
(1/π)・∫[0→∞]{exp(-xt)・sin(a√x)/x}dx＝erf(a/√(4t))　　(qNo.8816249:指数三角関数を含む定積分)
についての回答を付けたのだが、導出過程に誤りがあったのでここに訂正させていただく
(記載誤りと計算ミスがあり、訂正を入れようとしたのだが〆切られてしまったので訂正が出来なかった)
1.計算途上で利用した微分方程式の記述(正しくはdJ/J = -(a/2t)da )
2.∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y}dyの計算
∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y}dy = (π/2)・erf(a/√(4t))
↑の式から(1/π)・∫[0→∞]{exp(-xt)・sin(a√x)/x}dx＝erf(a/√(4t))が言える!!
以上2点訂正(申し訳ない!)
-------------------------

Ae610 · Answer

ANo.2です・・！

---部分分数分解は、どのような手順・法則で導かれたものか?---
→強いて言うならば・・・、分母の有理化・・!
1/((√s)+1) = ((√s)-1)/s-1 = √s/(s-1)－1/(s-1) = s/√s(s-1)－1/(s-1)
= (s-1+1)/√s(s-1)－1/(s-1) = 1/√s＋1/(√s・(s-1))－1/(s-1)
・・んで、1のところがcになった場合を計算しただけ・・!

-------------------------------------------------
・・・んで、ここでまたまたお詫び!
qNo.8820284:この質問の一つ上の質問
・・・で記載ミス(符号の付け間違え!)を見つけたので訂正する・・!

●切断を入れた負の実軸上の下端側(F→Gに向かう路)の積分の上端/下端が逆
(∞→0ではなくて0→∞)
なので計算結果が自ずと違ってくる・・!
(1/2πi)・∫[iv]{F(s)・e^(st)}ds
= - (1/2πi)・{1/t＋(ia/t)・e^(-a^2/4t)・∫[-ia/2t→∞]{e^(-ty^2)}dy

●(2)+(3)の計算
(1/2πi)・{∫[ii]{F(s)・e^(st)}ds＋∫[iv]{F(s)・e^(st)}ds}
= -(a/(2√(πt^3)))・exp(-a^2/4t)

lim[p→∞]1/(2πi)・∫[c-ip→c+ip]{F(s)・e^(st)}ds
= -(1/2πi)・{∫[ii]{F(s)・e^(st)}ds＋∫[iv]{F(s)・e^(st)}ds}
= (a/(2√(πt^3)))・exp(-a^2/4t)
(結果に変わりはない・・!)

度々申し訳ない!!
 耄碌爺だと思ってご容赦願いたい・・!

ramayana · Answer

ANo.1 へのお礼コメントについて

１）「u = s/(c^2) ではなくu = t/(c^2)でしょうか」

u = s/(c^2) です。
s = c^2u、ds = c^2du ですから、これらを元の積分に代入して置換積分すると、次のようになります。なお、s が c – ip から c + ip まで動くとき、u は c – ip/(c^2) から c + ip/(c^2) まで動くので、 u に関する積分区間は、c – ip/(c^2) から c + ip/(c^2) になります。

f(t,p,c) = f(t) = {1/(2πi)}∫[c-ip→c+ip]F(s)e^(st)ds 
　　= c^2 {1/(2πi)}∫[c-ip/c^2) → c+ip/c^2]F(c^2u)e^(c^2ut)du
　　= c^2{1/(2πi)}∫[c-ip/c^2) → c+ip/c^2](1/((c^2u)^(1/2)+c))e^(c^2ut)du
　　=c^2 {1/(2πi)}∫[c-ip/c^2) → c+ip/c^2](1/(cu^(1/2)+c)e^(u(c^2t))du
　　= c{1/(2πi)}∫[c-ip/c^2) → c+ip/c^2](1/(u^(1/2)+1)e^(u(c^2t))du
　　= c{1/(2πi)}∫[c-iq → c+iq](1/(u^(1/2)+1)e^(u(c^2t))du
　　　　（ただし q = p/c^2 ）

最後の式の積分は、

p の代わりに q 、
　　s の代わりに u 、
　　t の代わりに c^2t 、
　　c の代わりに 1

と変数が置き換わっていますが、ブロムウィッチ積分です。よって、

f(t,p,c ) = cf(c^2t, q,1)

を得ます。
また、p→∞のとき q→∞ですから、

lim[p→∞]f(t,p,c ) = c・lim[q→∞]f(c^2t, q,1)
　　　　　　　　　　 = c・lim[p→∞]f(c^2t, p,1)

となります。最後の式変形で q を p に置き換えています。p も q も、「無限大に近づく変数」というだけの意味で使っていますから、どんな記号を充てても差し支えないのです。

２）「F(s)はs=1の極と、s=0の分岐点を持つという理解であっていますでしょうか」

s=0の分岐点を持つというのは、合っています。s=1が極というのは、微妙ですね。

（分岐点について）

通常、式の中に多価関数が現れる場合、それが分子や分母に限らず、どこの現れようとも、その式の関数は、同じ分岐点を持つ多価関数になります（もちろん、s^(1/2) – s^(1/2) などのごとく相殺されるケースを除きます）。

（多価関数の極について）

s^(1/2) は2価関数で、1^(1/2) = 1 の枝と 1^(1/2) = -1 の枝があります。1^(1/2) が方程式 x^2 =1 の根だからです。どちらの枝を見るかで、極の有無や位置が変わってきます。

（1^(1/2) = 1のとき）

1^(1/2) = 1 の枝を採用したときは、F(s) = 1/(s^(1/2)+1) の形の方が分かりやすいでしょう。この場合、F(1) = 1/(1+1) = 1/2 ですから、s=1 は、極ではありません。

（1^(1/2) = -1のとき）

1^(1/2) = -1 の枝を採用したときは、F(s) = (s^(1/2)-1)/(s-1) の形の方が分かりやすいでしょう。分子は、s=1 のとき -1-1 = -2 です。よって s = 1 の近傍で F(s) ≒ -2/(s-1) ですから、s=1 は、極です。

３）ブロムウィッチ積分の計算式について

ほぼ合っています。ただ、いくつか修正があります。

(1) Res[F(s),1] の部分は、Res[F(s)e^(st),1] に修正
(2) 右辺の第２項と第３項は、「+」でなく「-」
(3) 右辺の第２項と第３項は、δ→0 の極限とする
(4) 右辺の末尾にもう 1 つ項を加える（これをεとする）
　　ただし、ε= -∫[IH]{(s^(1/2)-1)/(s-1)}e^(st)ds

∫[c-ip→c+ip]F(s)e^(st)ds
　　　　＝2πi・Res[F(s)e^(st),1]
　　　　　　-lim[δ→0]∫[JK]{(s^(1/2)-1)/(s-1)}e^(st)ds
　　　　　　　　-lim[δ→0]∫[LM]{(s^(1/2)-1)/(s-1)}e^(st)ds
　　　　　　　　　　　+ ε

ここで、p →∞の極限をとれば、εが消えます（すなわち lim[p→∞]ε= 0）。

なお、

1^(1/2) = 1 の枝では　Res[F(s)e^(st),1] = 0
　　1^(1/2) = -1 の枝では　Res[F(s)e^(st),1] = -2e^t

です。

ramayana · Answer

ラプラス変換について詳しくないのですが、回答が付いてないようなので、積分の方法だけ記します。計算間違い等があればご容赦ください。

１（記号の修正） F(s) の式に現れる c と、積分経路に現れる c とは、別のものとみられる。混乱がないように、積分経路に現れるほうを、 c でなく a で表すことにする。また、c は、正の実数で、 a は、a > c^2 を満たす実数とする。この a の条件は、後出の閉曲線内にすべての極が含まれるようにするためのものである。

２（ f(t,p,c) ）ご質問の f(t) は、p と c の関数でもある。これを明示するため、f(t) を f(t,p,c) で表すことにする。lim[p→∞]f(t,p,c) を計算することが、目標である。

３（c=1 のケースに限定）u = s/(c^2) と変数変換して、f(t,p,c) を u の積分で表してみると、

lim[p→∞]f(t,p,c) = c・lim[p→∞]f((c^2)t,p,1)

であることが分かる。このように、 c = 1 のときの結果を使って、一般の c のときの結果を容易に導ける。そこで、以下、c = 1 のケースに限定することとする。

４（分岐点と極）被積分関数は、s = 0 を分岐点とする2価関数である。複素平面から「実数軸の 0 以下の部分から成る半直線」を除いた領域を、Ωとする。被積分関数は、Ωにて有理型関数となる。s^(1/2) には、s=1 にて s^(1/2) = 1 となる枝と s^(1/2) = -1 となる枝の 2 つの枝がある。前者の枝をとれば、被積分関数はΩ内に極を持たない。後者の枝をとれば、被積分関数は、 s=1 にて留数が -2e^t の極を持つ。この留数は、

被積分関数 = {(s^(1/2)-1)/(s-1)}e^(st)

と変形してみれば分かる。

５（枝の選択）どっちの枝を使うかで結果が異なるが、計算方法は似たようなものである。以下、前者の「s=1 にて s^(1/2) = 1 」となる枝で計算する。この場合、Ωにおいて、

[1]　　s^(1/2) = root(|s|)e^(i・arg(s)/2)

である。ここで、root() は、正の平方根を表す。 arg(s) は、s の偏角を表す。 s=1 にて s^(1/2) = 1 の枝を採用したので、Ω内にて -π < arg(s) < π である。

６　（留数定理を使うための閉曲線）Ωの中に、次のような閉曲線を描く（添付図）。H = a-ip、I = a+ip とし、H から I を直線で結ぶ。O = 0 とする。δ を、（小さな）正数とする。 OI の距離を r(p) とする。 O を中心とし半径が r(p) の円を描き、その円周と「虚数部=δ」で表される直線との左側の交点を J とする。 I から J までを左回りの円周で結ぶ。「虚数部=δ」の直線と虚数軸との交点を K とする。J から K までを直線で結ぶ。虚数軸と「虚数部= -δ」の直線との左側の交点を L とする。K から L までを「中心が O で半径がδ」の円周で右回りに結ぶ。「虚数部= -δ」の直線と「中心が O で半径がr(p) 」の円との交点を M とする。L から M までを直線で結ぶ。M から H までを、「中心が O で半径がOI」の円周で左回りに結ぶ。このようにして結ばれた閉曲線HIJKLMH での積分を考える。

７　（留数定理の適用）この閉曲線で囲まれた領域に、極が存在しない。よって

∫[HIJKLMH] = 0

である。簡便のため、積分対象の {(s^(1/2)-1)/(s-1)}e^(st)ds を省略して記述した。

一方、この積分は、次のように分解できる。
　　∫[HIJKLMH] = ∫[HI] + ∫[IJ] + ∫[JK] + ∫[KL] + ∫[LM] + ∫[MH]

また、 ∫[HI] = (2πi)f(t,p,1) だから、結局、次の式を得る。

[2]　　(2πi)f(t,p,1) = - ( ∫[IJ] + ∫[JK] + ∫[KL] + ∫[LM] + ∫[MH] )

８（δ→ 0 の極限 ）[2] 式の右辺で、δ→ 0 としてみる。

lim[δ→ 0](∫[IJ] + ∫[MH]) = ∫[IH])
　　lim[δ→ 0]∫[KL] = 0

である。ただし、∫[IH]) は、外側の円周上を左回りに I から H まで辿る積分を表す。

よって、次の式を得る。

[3]　　(2πi)f(t,p,1) = - lim[δ→ 0](∫[JK] +∫[LM]) - ∫[IH]

９（lim[δ→ 0](∫[JK] +∫[LM]) の計算）∫[JK] を詳しく書くと、次のようになる。

∫[JK] = ∫[JK]{(s^(1/2)-1)/(s-1)}e^(st)ds
　　s^(1/2) = root(|s|)e^(i・arg(s)/2)

δ→ 0 のとき、積分経路は、負の実数軸に近づく。また、arg(s) は、πに近づく。よって、次のようになる。

lim[δ→ 0](∫[JK])
　　= ∫[-r(p) to 0] {(i・root(-s)-1)/(s-1)}e^(st)ds
　　= ∫[0 to r(p)] {(-i・root(u)+1)/(u+1)}e^(-ut)du

最後の式変形で、 u = -s の変数変換をした。
同様に、次の式を得る。ただし、この場合は、arg(s) が -πに近づくことに注意。

lim[δ→ 0](∫[LM])
　　= -∫[0 to r(p)] {(-i・root(u)-1)/(u+1)}e^(-ut)du

以上の式を足し合わせて、次を得る。

[4]　　lim[δ→ 0](∫[JK] +∫[LM]) = -2i∫[0 to r(p)] {root(u)/(u+1)}e^(-ut)du

１０（p → ∞ の極限）[3] 式と [4] 式から次を得る。

(2πi)f(t,p,1) =  2i∫[0 to r(p)] {root(u)/(u+1)}e^(-ut)ds - ∫[IH]

p → ∞のとき、r(p) → ∞である。また、∫[IH] → 0 である（いわゆるジョルダンの補題）。

これらから、

[5]　　lim[p → ∞]f(t,p,1) = (1/π) ∫[0 to ∞] {root(u)/(u+1)}e^(-ut)du

を得る。

右辺の積分が既知の関数で表現できるか確かめていない。ただ、そのような表現ができなくても、数値計算は容易であろう。ちなみに、この積分は、uの関数  root(u)/(u+1) のラプラス変換でもある。

ブロムウィッチ積分による逆ラプラス変換

直接の回答にはならないが、1/((√s)+c)のラプラス逆変換invL{1/((√s)+c)}がどんな原関数になるのか興味があったので簡易的に計算してみた・・!

この回答への補足

ANo.2です・・！

ANo.1 へのお礼コメントについて

ラプラス変換について詳しくないのですが、回答が付いてないようなので、積分の方法だけ記します。

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