積分という計算は次数を一つ上げるような計算ですが、次数を半分だけ上げる

積分という計算は次数を一つ上げるような計算ですが、次数を半分だけ上げる（0.5上げる）というような計算はあるのでしょうか？わけの分からない質問をしているのかもしれませんが、回答宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2009/12/26 19:05

siegmund です．

お，hira_kazu さんは高校生ですか．

> x^aの次数をb(0.5, 0.75などの実数）上げる場合の公式。
> というようなものはあるのでしょうか。

一般的にあらわすにはガンマ関数 Γ(z) の知識が必要です．
Γ関数は階乗 n！の拡張で，z が自然数の時は
(1)　　Γ(z) = (z-1)！
です．
したがって
(2)　　zΓ(z) = Γ(z+1)
という式が成立します．
詳細は Wikipedia などご覧下さい．

x^a を p 回積分することを I^p{x^a} と書くことにしましょう．
I^p は文字変数ではなくて，p 回積分するという作用を表します．
積分記号みたいなものです．
p=1 なら普通の積分です．
ガンマ関数を使うと
(3)　　I^p{x^a} = {Γ(a+1) / Γ(p+a+1)} x^(a+p)
です(ただし，p>-1，a>0)．

例として，p=1/2 のときに(3)の妥当性を検証してみましょう．
x^a 1/2 回積分すると係数は別にして x^(a+1/2) になるというのだから，
係数 B(a) を明示して
(4)　　I^(1/2){x^a} = B(a) x^(a+1/2)
と書けます．
もう一度 1/2 回積分すると(あれ，表現が変だな，「一度」は余計か？)，
(5)　　I^(1/2){I^(1/2) x^a}
　　　　= B(a) I^(1/2){x^(a+1/2)}
　　　　= B(a) B(a+1/2) x^(a+1)
となりますが，これは普通に１回積分したのと同じことだから
(6)　　 B(a) B(a+1/2) = 1/(a+1)
になっていないといけないわけです．
(3)で p=1/2 とすると
(7)　　B(a) = Γ(a+1)/Γ(a+3/2)
となりますが，(2)の性質に注意すると(6)が成り立っているのを
容易に確認することができます．

前にご紹介しました
http://www5a.biglobe.ne.jp/~fpeo2/Tpic02f.htm
もお読み下さい．

この回答へのお礼

　たびたびの回答ありがとうございます。
　高校で習っていた１回積分の意味も分かり、とてもすっきりしました^^。早速使ってみると、課題研究もかなり進みました。また他の場面などにも応用してみたいです。

お礼日時：2009/12/26 21:24

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2009/12/26 00:33

ご質問の答は半積分(semi-integral)いうことになるかと思います．

もっと一般的には非整数回微積分ですね．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=204022
http://www5a.biglobe.ne.jp/~fpeo2/Tpic02f.htm
http://mathworld.wolfram.com/FractionalIntegral. …
などをご覧下さい．
最後のは英語です．
また，
K. B. Oldham and J. Spanier: The Fractional Calculus
(Academic Press, New York, 1974)
は優れた本のように思われます．

> わけの分からない質問をしているのかもしれませんが、

いやいや，そんなことはありません．
拡張への欲求が数学を発展させてきたといても過言ではないでしょう．
元々自然数 n に対して定義された a^n の拡張が指数関数であり，
n! の拡張がガンマ関数でありました．

この回答への補足

　続けて質問よろしいでしょうか？
　ページを読んで自分が質問しているのは非整数階微積分というのが分かりました。そこで、今僕が非整数階微積分をしようとしている関数はlogや三角関数のようなややこしい関数ではなく、x^aというような単なるxの多項式です。そこで、このような形の時に通用する簡単な定義。というようなものはないでしょうか？整数階積分のときは…
（→を積分という意味で使います）
x^a → x^(a+1) / (a + 1)
のような簡単な公式があります。x^aの次数をb(0.5, 0.75などの実数）上げる場合の公式。というようなものはあるのでしょうか。

補足日時：2009/12/26 15:29

この回答へのお礼

　回答ありがとうございました。
　今回は高校の課題研究での疑問点を質問しました。まだまだついていけない所もありますが、紹介されたページを参考にして、勉強していきたいと思います。

お礼日時：2009/12/26 15:14

No.1 回答者： moumougoo 回答日時： 2009/12/26 00:06

f(x) = (2π)^(-1) ∫dk exp(ik(x-x'))∫dx'f(x')

(∫dx)^n f(x) = (2π)^(-1) ∫dk (ik)^(-n) exp(ik(x-x'))∫dx'f(x')
なので、半分の場合は
(2π)^(-1) ∫dk (ik)^(-1/2) exp(ik(x-x'))∫dx'f(x')
というような計算でしょうか？

この回答へのお礼

　回答ありがとうございました。
　早速、この式を使ってみたいと思います。

お礼日時：2009/12/26 15:15