sgn(x)のフーリエ変換

Ｆ[sgn(x)]＝－２ｉ∫[0 → ∞]sinωtdt　までは導けたんですがこの先が分かりません。
どうなって、２／ｉωになるんでしょうか？　導出課程を教えてください。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/08/20 02:57

次の計算が出来ればよいわけですよね。

∫[0←∞]exp(iωt)dt
これはf(z)=exp(iωz)とおき、f(z)の複素平面上で次のような経路に沿って積分することを考えればよいでしょう。

R>0として
1.z:0→R　　(実軸上での積分)
2.z:R→iR ("0"を中心とした半径Rの円周上を反時計回りに1/4周する線上での積分)
3.z:iR→0 (虚数軸上での積分)

exp(iωz)は複素平面上全ての点で正則ですので、1.2.3の経路を1周するとその積分値は"0"になります。
つまり、1.2.3のそれぞれの経路で積分した値をI1(R),I2(R),I3(R)とすると
I1(R)+I2(R)+I3R)=0
となります。

I1(R),I2(R),I3(R)はそれぞれ次のような式になります。

I1(R)=∫[0→R]exp(iωt)dt
I2(R)=∫[0→π/4]exp{iωR*exp(iθ)}*iexp(iθ)dθ
I3(R)=∫[R→0]exp(-ωt)*idt

ここでR→∞とすると
I1(R)→∫[0→∞]exp(iωt)dt
I3(R)→-i∫[0→∞]exp(-ωt)dt
となります。I2(R)はR→∞で"0"に収束します。(証明は面倒なのでご自分でご確認ください)

以上のことから
∫[0→∞]exp(iωt)dt-i∫[0→∞]exp(-ωt)dt=0
がわかり、後ろの積分は簡単に計算できると思います。

∫[-∞→0]-exp(iωt)dtについては上に上げた経路を虚数軸に対して対称にした経路で積分すると良いでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2011/08/20 23:08

No.1 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/08/20 00:40

普通の関数と思って計算しても計算できませんよ。

sgn(x)を超関数だと思って計算しないと。

具体的な方法については、超関数の教科書をみてください。