数学の質問です。 関数f（t）のフーリエ変換をF（ω）＝∫[-∞→∞]f（t）exp（-iωt）dt

数学の質問です。

関数f（t）のフーリエ変換をF（ω）＝∫[-∞→∞]f（t）exp（-iωt）dtと定義する。

関数F（ω）のフーリエ逆変換をf（t）とするとき、次の2つの関数のフーリエ逆変換を求めよ。

（1）F（2ω）
（2）F（ω-1）

解答、解説がなく困っているので、どなたか分かる方がいらっしゃれば教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/29 10:00

(1)は「g(t)のフーリエ変換G(ω)は G(ω) = F(2ω) である。

g(t)を求む。」
という問題。

　f(t)のフーリエ変換がF(ω)なので、F(2ω) は
　　F(2ω) = ∫[-∞→∞]f(t) exp(-2iωt) dt
である。一方、「g(t)のフーリエ変換がG(ω)である」は
　　G(ω) = ∫[-∞→∞]g(s) exp(-iωs) ds
と表せる。（なぜなら、フーリエ変換は定積分なので、積分する変数はtだろうがsだろうが関係ないからです。）
　そして、両者が等しい。

　両方のexpのナカミを見比べると、
　　s = 2t
になってれば良さそうだとわかるでしょ。これは「置換積分（変数変換）」ですね。やってみれば
　　G(ω) = F(2ω) = ∫[-∞→∞] ((ds/dt) g(t/2)) exp(-iωt) dt
だから
　　f(t) = (ds/dt) g(t/2)
である。
　(2)も同様。

この回答へのお礼

ご親切にありがとうございます。

お礼日時：2023/07/29 13:57