フーリエ変換、逆変換の｢2π｣の扱いについて

メーカ勤務の会社員です。
一連のフーリエ変換の式について調べていますが、フーリエ変換、逆変換の式は一般的には以下で、1/(2π)はフーリエ逆変換の側に付いている認識です。（以下）

●フーリエ変換
　F(ω)＝∫[-∞～∞]f(t)e^(-jωt)dt
●フーリエ逆変換
　f(t)＝1/(2π)∫[-∞～∞]F(ω)e^(jωt)dω

ただ、今更ですが、何故1/(2π)をフーリエ逆変換の側に付けたものが一般的になったのか？　付けるとしたらフーリエ変換の側に付けた方が正しいのではないのか？　という理由が分からなくなりました････。

1/(2π)は複素フーリエ係数の1/Tが変化したものだとしたら、フーリエ変換の側に付けるべきではないかと思うからです。F(ω)から振幅スペクトルを求める時の混乱の元になる気もしますし･･･
（もしかして、1/T＝1/(2π)･dωをフーリエ逆変換の式に全て収めたい主旨からなのでしょうか？）

もし理由をご存知の方がいましたら、お手数ですがご教示いただきたく、宜しくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  [補足]
  上記は、時間の関数から周波数の関数へ変化した時、周波数成分をできるだけ正しく求めたい主旨で質問させていただきました。(２πの位置が変わると値が変わり意味も変わりますよね)
  
  ２πを付ける位置が教科書でバラバラで、その理由は｢複素フーリエ級数｣から｢フーリエ積分公式｣になり｢フーリエ変換｣｢フーリエ逆変換｣に分割する際に２πを付ける位置が人によりバラバラだから なのは理解しておりますし、｢相対的な周波数成分が分かれば良い｣と思う人が大半なことも理解しております。
  ただ、工学系は「相対的では許されない」のです･･･。
  
  なお、ωではなく周波数ｆを使うと２πは消えますが、｢フーリエ逆変換｣のdfの元は｢複素フーリエ係数｣の1/Tですので、この方法もしっくりとは理解できない状況です･･･。(この方法が落し処なのですかね)

    補足日時：2022/10/08 07:46

No.3 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2022/10/07 14:01

いろいろな表現のあることは

　　https://eman-physics.net/math/fourier05.html
に詳しい説明がある。

　関数に 2πが付くのが目障りなら、角周波数ω(=2πf) の代わりに周波数 f を使って 2πを積分の中に押し込めるという方法もある。周波数 f と被らないように関数名を G と g で表すと

　　フーリエ変換　　　G(f)=∫[-∞→∞]g(t)e^(-j2πft) dt

　　フーリエ逆変換　　g(t)=∫[-∞→∞]G(f) e^(j2πft) df

　実務的にはよく使われる。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞関数に 2πが付くのが目障りなら、角周波数ω(=2πf) の代わりに周波数 f を使って 2πを積分の中に押し込めるという方法もある


角周波数ωではなく周波数ｆを使うと２πは消えますが、この場合は｢フーリエ逆変換｣のdfの元が｢複素フーリエ係数｣の1/Tになりますので、これもしっくりとは理解できない状況です･･･。(この方法が落し処だとは思いながら･･･)

お礼日時：2022/10/08 07:57

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/07 11:34

>ただ、今更ですが、何故1/(2π)をフーリエ逆変換の側に

>付けたものが一般的になったのか？

一般的じゃないです。応用分野でバラバラですよ。
科学計算用電卓でも3パターンくらい選べるものが多いです。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞科学計算用電卓でも3パターンくらい選べるものが多いです。

情報ありがとうございます。
電卓で選択可能にした意味から理解を深めてみようと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/08 08:05

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/07 09:37

たんなる成り行き。

対称性を考えたときは
●フーリエ変換
　F(ω)(1/√(2π))∫[-∞～∞]f(t)e^(-jωt)dt
●フーリエ逆変換
　f(t)＝(1/√(2π))∫[-∞～∞]F(ω)e^(jωt)dω

つまり、どうでもよい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞つまり、どうでもよい。

そう思われる人が何故大半なのか･･･
相対的な周波数成分だけ分かって何が嬉しいのか･･･
工学系の自分には分からないのです･･･

お礼日時：2022/10/09 00:56