lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ) =lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cos

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=lim_{θ→π/2}-(θ-π/2)cos(θ-π/2)/sin(θ-π/2)
=-1
に関して、どうやって-1と導けたのか教えて頂けないでしょうか？

特にlim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=lim_{θ→π/2}-(θ-π/2)cos(θ-π/2)/sin(θ-π/2)
において、2行目-(θ-π/2)がどうやって出て来たかわかりません。
そして、lim_{θ→π/2}-(θ-π/2)cos(θ-π/2)/sin(θ-π/2)から、どうやって-1を導いたのかどうか教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/13 11:36

詳細です

加法定理:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
このことから、A=θ,B=-π/2を代入すると
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB→
sin(θ-π/2)=-cosθ
⇔cosθ=-sin(θ-π/2)
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB→
cos(θ-π/2)=sinθ
ですので
sinθ/cosθ部分に今求めた関係式をそれぞれ当てはめれば
(θ-π/2)の前にマイナスが出てくることが分かるはずです

次に、数3テキストの公式に
Lim(x→0)x/sinx=1　（xが十分小さければ　xとsinxはほぼ等しい）
があるはずです
これを利用するために
x=θ-π/2 とおけば
θ→π/2のとき　x→0ですので
lim_{θ→π/2}-(θ-π/2)cos(θ-π/2)/sin(θ-π/2)
=Lim(ｘ→0){-(x/sinθ)・cosx}
=-1・cos0
=-1
となりますよね

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/04/21 21:40

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/13 01:08

三角比の公式ないし加法定理で

まずは変形です
つぎは
Lim x/sinxの公式です
まだ分からないなら、明日目覚めてから解説しますよ
他の誰かが詳しくやってくれるかもですが

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/13 00:59

変数をてきとうにおきかえて

0 への極限
に書き換えたら?