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三角関数の問題なのですが、
0≦θ<2π のとき次の不等式を解け。

(1)sinx≧√3cosx

(2)√2(sinx+cosx)>1


合成はできるのですが、そこから先が分かりません(・・;)教えてください。

A 回答 (4件)

(1)


0 ≧ √3 cos x - sin x
 = 2{ (√3/2)cos x - (1/2)sin x }
 = 2{ (cos π/6)cos x - (sin π/6)sin x }
 = 2 cos(x + π/6).
0 ≦ θ < 2π はこの際関係ないが、
0 ≦ x < 2π だったとすると、π/6 ≦ x+π/6 < (13/6)π だから
0 ≧ cos(x + π/6) となるのは π/2 ≦ x+π/6 ≦ (3/2)π のとき。 ←[1]
すなわち、π/3 ≦ x ≦ (4/3)π のとき。

(2)
1 < √2(sin x + cos x)
 = 2{ (1/√2)sin x + (1/√2)cos x }
 = 2{ (cos π/4)sin x + (sin π/4)cos x }
 = 2 sin(x + π/4),
1/2 < sin(x + π/4).
0 ≦ x < 2π だったとすると、π/4 ≦ x+π/4 < (9/4)π だから
1/2 ≧ sin(x + π/4) となるのは (5/6)π ≦ x+π/4 ≦ (13/6)π のとき。 ←[2]
すなわち、(7/12)π ≦ x ≦ (23/12)π のとき。

どちらも、[1] や [2] は cos とか sin とかのグラフを書いて読み取る。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます<(_ _*)>

お礼日時:2023/05/19 00:05

(1) sinx - √3cosx = 2{(1/2)sinx - (√3/2)cosx}


= (1/2){sinxcos(-π/3) + cosxsin(-π/3)}
= (1/2) sin(x - π/3) ≧ 0 →(1/3)π ≦ x ≦ (4/3)π
(2) も解き方は同じ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます<(_ _*)>

お礼日時:2023/05/19 00:06

(1)


sinx≧√3cosx
sinx-√3cosx≧0
(1/2)sinx-(√3/2)cosx≧0
cos(π/3)sinx-sin(π/3)cosx≧0
sin(x-π/3)≧0
nを任意の整数とすると
2nπ≦x-π/3≦(2n+1)π
2nπ+π/3≦x≦π/3+(2n+1)π
(6n+1)π/3≦x≦(6n+4)π/3

(2)
√2(sinx+cosx)>1
(√2/2)sinx+(√2/2)cosx>1/2
cos(π/4)sinx+sin(π/4)cosx>1/2
sin(x+π/4)>1/2
nを任意の整数とすると
2nπ+π/6<x+π/4<2nπ+5π/6
2nπ-π/12<x<7π/12+2nπ
(24n-1)π/12<x<(24n+7)π/12
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます<(_ _*)>

お礼日時:2023/05/19 00:06

できない。



(1)
x=0のとき 
 0≧√3

(2)
x=πのとき
 √2(-1)>1
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます<(_ _*)>

お礼日時:2023/05/19 00:05

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