高校数学 三角関数

関数ｙ＝√２（sinxcosx)-sinxcosx-1…①（0≦ｘ＜2π）について
（1）sinx+cosx=tとおくとき、tの値を求めよ

(2)①をtの関数で表せ

（３）最大値、最小値とそのときのｘの値を求めよ

この問題の解き方を教えてください

模範解答（１）－√２≦ｔ≦√２
　　　　（２）１/2t^2+√２ｔ-１/２
　　　　（３）ｘ＝４で最大値１/2,x=5/4πで最小値-７/2

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/14 19:33

問題と解答の一部が違っていると思われます。

問題の√2 の後の (sinxcosx) は、(sinx + cosx) 、
解答の (2) の (1/2)t² は、－(1/2)t²、(3) の x=4 で最大は、x=π/4 で最大と思われます。

y=√2(sinx+cosx)-sinxcosx-1…①（0≦ｘ＜2π）
(1)
三角関数の合成公式を利用します。
a sin θ + b cos θ=√(a²+b²) sin (θ+α)
ただし、αは次の式を満たす角度。
cos α= a/√(a²+b²) , sin α= b/√(a²+b²)

sinx+cosx=t の左辺において、a=1 , b=1 の場合と考えて、
cos α= 1/√(1²+1²)=1/√2 , sin α= 1/√(1²+1²)=1/√2 より、α=π/4
よって、
sinx+cosx=√2 sin(x+π/4)
0≦ｘ＜2π より、π/4≦ｘ+π/4＜9π/4
-1≦ sin(x+π/4)≦1 より、-√2≦ √2sin(x+π/4)≦√2
したがって、-√2≦ t ≦√2

(2) sinx+cosx=t
(sinx+cosx)²=t²
sin²x+cos²x+2sinxcosx=t²
1+2sinxcosx=t²
sinxcosx=(t²-1)/2

これより、①は、
y=√2t-(t²-1)/2-1
=-(1/2)t²+√2t-(1/2)

(3)
y=-(1/2)t²+√2t-(1/2)
=-(1/2)(t²-2√2t)-(1/2)
=-(1/2)(t-√2)²+1-(1/2)
=-(1/2)(t-√2)²+(1/2)

-√2≦ t ≦√2 より、t=√2 のとき、最大値 1/2 をとる。
√2 sin(x+π/4)=√2 より、sin(x+π/4)=1
x+π/4=π/2 より、x=π/4

-√2≦ t ≦√2 より、t=-√2 のとき、最小値 をとる。
y=-(1/2)(-√2-√2)²+(1/2)
=-(1/2)8+(1/2)
=-7/2
√2 sin(x+π/4)=-√2 より、sin(x+π/4)=-1
x+π/4=3π/2 より、x=5π/4

したがって、
x=π/4 のとき、最大値 1/2、x=5π/4 のとき、最小値 -7/2

この回答へのお礼

すみません
指摘の通り、すべて間違っていました
回答してくださりありがとうございました

お礼日時：2020/08/23 13:10

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/14 14:09

(1)

x に変域があるので、
sin x + cos x = t となる t の値はひとつに決まりません。
敢えて言えば、 sin x + cos x が t の値ではないでしょうか。

(3)
「何の」最大値、最小値を求めろというのか、指定してありません。

(2)
最終的に y の値域を求めようとするのなら、
問題の t よりも、 (sin x)(cos y) = u とでも置くべきでしょう。
u の変域を求めるために t を経由するならアリかもしれませんが、
y を t の式で表すのはどうかと思います。

問題文の書き方も、小問誘導も、よくないですね。
もうちょっとデキのいい問題集を使って勉強したほうが安全だと思います。
文章の書き方の不備とか、変な解法手順とか、見慣れてしまうと
うつってしまいかねません。

この回答へのお礼

私の打ち間違えでした
すみません

お礼日時：2020/08/23 13:12

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/14 13:14

（１）三角関数の合成と呼ばれるもので　以下の手順になる

sinx+cosx=1sinx+1cosx
だから　sinxの係数を直角三角形の底辺、cosxの係数を高さとみなして
そのような直角三角形の斜辺を求める
三平方の定理から　斜辺=√1²＋１²=√2
次に斜辺でくくりだす
sinx+cosx=1sinx+1cosx=√2{sinx(1/√2)＋cosx(1/√2)｝
その次は加法定理：sin(x+a)=sinxcosa+cosxsinaと
{sinx(1/√2)＋cosx(1/√2)｝を見比べる
cosa＝(1/√2)、sina=(1/√2)という対応関係にあることが気付く
そしてこのとき単位円を描くことなどにより、a=π/4と分かる
ゆえに
√2{sinx(1/√2)＋cosx(1/√2)｝=√2(sinxcosa+cosxsina)
=√2sin(x+a)
=√2sin(x+π/4)
すなわち　t=√2sin(x+π/4)
再び単位円で調べると　-1≦sin(x+π/4)≦１だから
-√２≦sin(x+π/4)≦√2
すなわち、-√２≦ｔ≦√2

(2)sinx+cosx=tを両辺2乗
sin²x+cos²x+2sinxcox=t²
⇔1+2sinxcosx=t²
⇔sinxcosx=(t²-1)/2
これを、ｙ＝√２（sinxcosx)-sinxcosx-1　へ代入して整理すれば答えが出るはず

(3)ｙ＝１/2t^2+√２ｔ-１/２　（ただし-√２≦ｔ≦√2）
という定義域つきの2次関数の最大最小と　その時のｔの値を求める
締めに、t=√2sin(x+π/4)から最大及び最小となるときのｔの値をｘに変換すれば答え