tanπ/24

解決済

質問者：setsunajt
質問日時：2010/01/20 22:03
回答数：3件

tanπ/24の値を教えて下さい。

cosを使って分解して考えるようですが…。

できれば早い解答をお待ちしてます。

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2010/01/20 22:55

>cosを使って分解して考えるようですが…。

そう思うならやってみて、計算過程を補足に書いて下さい。

tan(π/12)=2-√3 なのを利用すれば
tan(π/24)=x(>0)とおいて
半角の公式：tan(2A)=2tan(A)/{1-(tan(A)^2)}
を適用すると
(2-√3)(1-x^2)-2x=0
という2次方程式の正根を解の公式を使って求めれば良い。
x=tan(π/24)=(2(√(2-√3))-1)/(2-√3)
=(2(√(2-√3))-1)(2+√3)
=2(2+√3)(√(2-√3))-(2+√3)
=2(√(2+√3))-(2+√3)
=(√2)(√(4+2√3))-(2+√3)
=(√2)(√((1+√3)^2))-(2+√3)
=(√2)(1+√3)-(2+√3)
=√6+√2-2-√3≒0.131652497584

となるかと...

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この回答へのお礼

遅くなりましたが、ご回答ありがとうございました。

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お礼日時：2011/03/23 19:59

No.2

回答者： debut
回答日時：2010/01/20 22:43

半角の公式

tan^2(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)
から
tan^2(π/24)=tan^2{(π/12)/2}={1-cos(π/12)}/{1+cos(π/12)}
公式
cos^2(x/2)=(1+cosx)/2
から
cos^2(π/12)=cos^2{(π/6)/2}={1+cos(π/6)}/2=(2+√3)/4
∴cos(π/12)={√(2+√3)}/2=(√3+1)/(2√2)

∴tan^2(π/24)={2√2-(√3+1)}/{2√2+(√3+1)}
　　　　　　　=15-10√2+8√3-6√6

∴tan(π/24)=√(15-10√2+8√3-6√6)

ここまで書いている間にNo1の回答と補足が・・
すると、√(15-10√2+8√3-6√6)が(√6-√3＋√2-2)^2になると
いうことですか。