tan(z)を=/2を中心にローラン展開する上で、 z=π/2+0.001として、 tan(z)をロ

tan(z)を=/2を中心にローラン展開する上で、

z=π/2+0.001として、

tan(z)をローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
としたのですが、

どうやって
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
から
=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
と導いたのでしょうか？

また、
a(2) (z-π/2)^2の値はどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか。

どうか過程の式を教えて頂けないでしょうか。

また、
「tan(z)をローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・」を解答に書いて頂いた上で、
「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。

どういう意味か教えて頂けないでしょうか？

解答はmtrajcp様から頂いたものです。
どうかわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• こちらは2023.3.1 14:36に投稿した質問の補足に載せた画像です。

  
    補足日時：2023/03/03 12:12

• 質問が複数あります。
  
  ①
  なぜ
  tan(z)をローラン展開する際に
  tan(z) = Σ(n=0 to ∞) a(n) (z-z0)^n
  ではなく、
  tan(z) = Σ(n=0 to ∞) b(n) (z-z0)^n
  としたのでしょうか？
  
  a(n)も展開係数だと思うのですが。
  
  ②
  b(n)
  と、
  a(n)の式の違いはなんでしょうか？
  
  
  ③
  ちなみに、a(n)の式は画像のような式のはずですが、
  どうやって
  b(n)=(1/n!) d^n/dz^n [tan(z)]|z
  と
  a(n) = (1/n!) d/dz [(z-π/2)tan(z)]|z
  の式を導いたのでしょうか？
  
  ④
  a(0)とa(2)の値の求め方を教えて下さい。
  
  ⑤
  a(1)は0ですが、なぜ「訂正です0でない第1項はa(1)の項でした」と書かれたのでしょうか？

  
    補足日時：2023/03/03 13:21

• ⑦ちなまに、kantansiさんから頂いた、
  b(n) = (1/n!) d^n/dz^n [tan(z)]|z=z0やa(1) = 1/1! d/dz [(z-π/2)tan(z)]|z=z0
  = 1/1! [tan(z0)+(z0-π/2)sec^2(z0)]
  = 1/1! [undefined + 0]
  = 0
  の計算は間違えていたのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/03/03 22:07

• すいません。
  「c_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理っぽいけど。」
  
  の「 k の式で書き下す」とはどう言う意味で、なぜ無理なのでしょうか？

    補足日時：2023/03/07 15:06

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/04 09:02

＞ 「[2]の右辺に含まれている(c_(-1))は

＞ テイラー展開の公式のf^(n)(a)/n!=a(n)だと考えている」
＞ と書きましたが、この発言は正しいでしょうか？

過去の質問でも、
主語や目的語の欠落した文章で考えたり
定義を明示しないで記号を使ったりすることが
あなたの混乱の大きな源のひとつだ...と
繰り返し繰り返し書いてきましたが、
反省する気は無いようですね。

その書き方では、
f(z) = tan z で話をしているのだか、
f(z) = (z - π/2) tan z で話をしているのだか、判りません。

a(n) も、少し前には tan z のローラン展開の係数を
その記号で呼んでいたように思います。
変数名を、一連の文章の中で、定義を明記せずに
複数の意味に使い回しては、何を言っているのか判りません。

c_k の k とその a(n) の n の関係も書かれていないし。
答えようがない。

とりあえず、その断片的な文から判るのは、
「f^(n)(a)/n!=a(n)」では、左辺と右辺で「a」の意味が違うから
論外だということくらいです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。

「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。
正しい意味を教えて頂けないでしょうか？

また、ありものがたりさんから頂いた
2023.3.3 14:43に書いてある。
「c_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理っぽいけど。」の「kの式」とはなんでしょうか？

お礼日時：2023/03/04 14:45

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/03 22:51

⑦

kantansi さんが登場したらよいですねえ。
私は、その a(n), b(n) について解説するつもりは一切ありません。
c_k についての質問なら、どうぞ。

この回答へのお礼

複数の解答に答えてくださり誠にありがとうございます。

あの④に関して、
「[2]の式が(z-π/2) tanz の z=π/2を中心とするテイラー展開になっているのは何故でしょうか？
ただ、[2]の右辺に含まれている(c_(-1))はテイラ
一展開の公式のf^(n)(a)/n!=a(n)だと考えています。」
の

「[2]の右辺に含まれている(c_(-1))はテイラ
一展開の公式のf^(n)(a)/n!=a(n)だと考えている」と書きましたが、この発言は正しいでしょうか？

お礼日時：2023/03/04 03:26

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/03 22:47

①

＞ なぜ[2]の式は
＞ (z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(z - π/2)^j
＞ ではないのでしょうか？

誤字でしたね。
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(z - π/2)^j
が正解です。

②
＞ No.1の式はどこにあるのでしょうか？

これも誤字でしたね。「No.3 の式」が正解です。
tan z = Σ[k=-1→∞] (c_k)(z - π/2)^k
の両辺を (z - π/2) 倍すると
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(z - π/2)^j　←[2]
になります。

③
＞ 右辺がΣ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j になる理由がわかりません。

Σ[k=-1→∞] (c_k)(z - π/2)^k を (z - π/2) 倍すると
Σ[k=-1→∞] (c_k)(z - π/2)^(k+1) です。
添字を k+1 = j で置き換えれば
Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(z - π/2)^j になります。

④
＞ [2]の式が (z - π/2) tan z の z = π/2 を中心とする
＞ テイラー展開になっているのは何故でしょうか？

左辺の (z - π/2) tan z が、右辺を見ると (z - π/2) の冪級数で表されています。
テイラー展開とは、そういうものです。

⑤
＞ 右辺がどう導かれたのかわかりません。

(d/dz)^m Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(z - π/2)^j
= (d/dz)^m { Σ[j=0→(m-1)] (c_(j-1))(z - π/2)^j + Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(z - π/2)^j
= Σ[j=0→(m-1)] (c_(j-1)) (d/dz)^m (z - π/2)^j + Σ[j=m→∞] (c_(j-1)) (d/dz)^m (z - π/2)^j
= Σ[j=0→(m-1)] (c_(j-1)) 0 + Σ[j=m→∞] (c_(j-1)) (jPm)(z - π/2)^(j-m)
= Σ[j=m→∞] (c_(j-1)) (jPm)(z - π/2)^(j-m)
です。

右辺第2項で (d/dz)^m (z - π/2)^j = (jPm)(z - π/2)^(j-m) となる理由は、
高校の教科書で (d/dx) x^n = n x^(n-1) になる理由を確認して
それを繰り返し m 回行えば判ります。

＞ (jPm)などが出てきて混乱しています。

(jPm) は順列の記号、jPm = j(j-1)(j-2)…(j-(m-1)) です。
jPm = j！/(j-m)！ で置き換えても構いませんが、式が読みにくくなるだけでしょう。

⑥
＞ 右辺が c_(m-1) (m！) となる理由がわかりません。

lim[z→π/2] Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(z - π/2)^(j-m)
= lim[z→π/2] { (c_(m-1))(mPm)(z - π/2)^(m-m) + Σ[j=(m+1)→∞] (c_(j-1))(jPm)(z - π/2)^(j-m) }
= lim[z→π/2] { (c_(m-1))(m！)(z - π/2)^0 + (z - π/2)Σ[j=(m+1)→∞] (c_(j-1))(jPm)(z - π/2)^(j-m-1) }
= (c_(m-1))(m！) + lim[z→π/2] (z - π/2)Σ[j=(m+1)→∞] (c_(j-1))(jPm)(z - π/2)^(j-m-1) }
= (c_(m-1))(m！) + 0.
です。

右辺が冪級数であることに注目しましょう。
z に展開中心を代入すれば、定数項だけが残ります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/03 14:43

次に、この各 c_k を求めます。

No.1 の式を両辺を (z - π/2) 倍すると
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。　←[2]
この式は、
(z - π/2) tan z の z = π/2 を中心とするテイラー展開になっていますね？

g(z) = (z - π/2) tan z と置いて、g(z) をテイラー展開しましょう。
[2] の式を z で m 回微分すると
(d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) で、
z→π/2 の極限を取れば
lim[z→π/2] (d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = c_(m-1) (m！) となります。

この式を使って、実際に c_k をいくつか求めてみましょう。
c_(-1) = lim[z→π/2] (d/dz)^0 { (z - π/2) tan z }/(0！)
　　　= lim[z→π/2] { (z - π/2) tan z }/1
　　　= -1,
c_0 = lim[z→π/2] (d/dz) { (z - π/2) tan z }/(1！)
　　= lim[z→π/2] { 1tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/1
　　= lim[z→π/2] { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/(cos z)^2
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (sin z)(cos z) + (z - π/2) } }/{ (d/dz) (cos z)^2 }
　　= lim[z→π/2] { cos(2z) + 1 }/{ - sin(2z) }
　　= ( -1 + 1 )/(-1)
　　= 0,
c_1 = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan z }/(2！)
　　= lim[z→π/2] (d/dz) { tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/2
　　= lim[z→π/2] { 2/(cos z)^2 + (z - π/2)(2 sin z)/(cos z)^3 }/2
　　= lim[z→π/2] { (cos z) + (z - π/2)(sin z) }/(cos z)^3
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos z) + (z - π/2)(sin z) } }/{ (d/dz) (cos z)^3 }
　　= lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos z) }/{ 3 (cos z)^2 (- sin z) }
　　= lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin z)/{ (cos z - 0)/(z - π/2) }
　　= (-1/3)(1/1)/{ -1 }
　　= 1/3.
けっこう面倒くさいけれど、ロピタルの定理を多用すればイケますね。
この調子で、どんな k についても c_k の値は根性出せば求められます。
c_k の一般項を k の式で書き下すのは、おそらく無理っぽいけど。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問がいくつかあります。

① (z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。　←[2]
について、なぜ[2]の式は
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(z - π/2)^j です。
ではないのでしょうか？


②No.1 の式を両辺を (z - π/2) 倍すると
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。　←[2]
に関して、No.1の式はどこにあるのでしょうか？
いきなり(jPmなどが右辺に出てきて

③No.1 の式を両辺を (z - π/2) 倍すると
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j の左辺が(z - π/2) tan zになるのはわかるのですが、右辺がΣ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j になる理由がわかりません。
どうか計算式を教えて下さい。

④[2]の式が(z - π/2) tan z の z = π/2 を中心とするテイラー展開になっているのは何故でしょうか？
ただ、[2]の右辺に含まれている(c_(j-1))はテイラー展開の公式のf^(n)(a)/n!=a(n)だと考えています。

⑤[2] の式を z で m 回微分すると
(d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) となるとのことですが、右辺がどう導かれたのかわかりません。
どうか詳しく過程の計算を教えて下さい。
いきなり、(jPm)などが出てきて混乱しています。

⑥そして、z→π/2 の極限を取って、
(d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) の右辺が
c_(m-1) (m！) となる理由がわかりません。
どうか詳しく過程の計算を教えて下さい。

お礼日時：2023/03/03 22:07

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/03 13:50

tan z を z = π/2 中心にローラン展開するんですね？

まず、z = π/2 の特異点を分類します。
tan z = (sin z)/(cos z),
z = π/2 で sin z は正則、cos z は 1 位の零点を持ちますから、
z = π/2 は tan z の 1 位の極になります。

確認しましょうか。
lim[z→π/2] (z - π/2)^1 tan z
= lim[z→π/2] (sin z)/{ cos z - cos(π/2))/(z - π/2) }
= sin(π/2)/cos’(π/2)
= sin(π/2)/{ -sin(π/2) }
= -1.
確かに、有限値に収束しています。

よって、z = π/2 を中心とする tan z のローラン展開は、
適当な係数 c_k を置いて
tan z = Σ[k=-1→∞] (c_k)(x - π/2)^k と書けます。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/03 13:40

前回の補足質問については、前回のほうへ回答を付けておきましたよ。

別の質問を混ぜるな って、前回も言ったと思うけど？

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/03/03 11:59

まず、tan(z)をローラン展開して、

tan(z) = Σ(n=0 to ∞) b(n) (z-z0)^n

とします。ここで、z0は展開点であり、この場合はπ/2です。b(n)は展開係数であり、以下の式で求められます。

b(n) = (1/n!) d^n/dz^n [tan(z)]|z=z0

まず、b(0)を求めます。

b(0) = tan(z0) = tan(π/2+0.001) = -∞

次に、b(1)を求めます。

b(1) = d/dz [tan(z)]|z=z0 = sec^2(z0) = 1

次に、b(2)を求めます。ここで、a(2)として表記されているものと同じです。

b(2) = 1/2 d^2/dz^2 [tan(z)]|z=z0
= 1/2 d/dz [sec^2(z)]|z=z0
= 1/2 [2sec^2(z0) tan(z0)]
= 1/2 [2(-∞)(undefined)]
= undefined

b(2)が定義できないため、a(2)も定義できません。つまり、z=π/2+0.001の近傍でのtan(z)のローラン展開は、b(0)とb(2)が定義できないため、不可能です。

また、「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」というのは、答えの誤植であり、正しくは「訂正です0でない第1項はa(1)の項でした」となります。つまり、展開式は以下のようになります。

tan(z) = -1/(z-π/2) + a(1) (z-π/2) + ...

ここで、a(1)は以下のように求められます。

a(1) = 1/1! d/dz [(z-π/2)tan(z)]|z=z0
= 1/1! [tan(z0)+(z0-π/2)sec^2(z0)]
= 1/1! [undefined + 0]
= 0

つまり、

tan(z) = -1/(z-π/2) + (1/3)(z-π/2) + ...

となります。

この回答へのお礼

kantansi様、詳しい解説ありがとうございます。

あの、申し訳ないのですが、2023.3.1 14:36に投稿した質問の以下の補足にもお答えしていただけるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。


「ありものがたりさんに質問がございます。
「F(z) が z=a を特異点に持つということは
lim[z→a]F(z) が発散することじゃなく
F(z) が z=a で微分不能だということだと言ってるんですよ？
例えば、F(z) = z sin(1/z) の場合、
lim[z→0]F(0) = 0 は収束しますが、F’(0) は存在しません。
で、z=0 はこの F(z) の特異点だという話をしているんです。」
より以前、mtrajcp様に極の定義を画像のように教えて頂いたのですが、

F(z) = z sin(1/z)の場合より、
z→0の時、F(z) = z sin(1/z)は収束するまではわかりますが、収束するにも関わらず微分が出来ないならば、極の定義に反していると思うのですが、」



「私は何かしら勘違いをしていて、正しくは
収束とは、a(n)はコーシーの積分定理により0になります。
コーシーの積分定理によりa(n)は積分出来るため、微分も出来ると考えたのですが、これは単純にa(n)が0になるため微分が出来ない、
微分が出来ないからz=0 はこの F(z) の特異点だと伝えたいのでしょうか？

また、発散とはa(n)の式が作れるため、微分が可能であり、特異点ではないという事でしょうか？

どうかよろしくお願い致します。」

お礼日時：2023/03/03 12:10