tan(z)のローラン展開は tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・

tan(z)のローラン展開は
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
でありますが、

n≧-1, z=π/2(z→π/2)の時、
a(n)は画像の式でありますが(n≦-2の時はz=π/2(z→π/2)でもz≠π/2でもa(n)=0となる)、

tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・の
第1項に関して
画像のa(n)の式を使い、
a(1)(z-π/2)から-1/(z-π/2)を求めるまでを教えて頂けないでしょうか。

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/03 15:26

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・

の
a(0),a(2)
は0になるけれども
a(1)
は0にはなりません

a(-1)=-1
a(0)=0
a(2)=0
だから

tan(z)=-1/(z-π/2)+a(1) (z-π/2)+・・・
です

この回答へのお礼

ありがとうございます。

以前mtrajcp様からan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
と教えて頂きましたが、

正しくはtan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
すなわちtan(z)=-1/(z-π/2)+a(1) (z-π/2)+・・・だとわかりました。

お礼日時：2023/06/03 16:52

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/03 13:31

あ、誤字があった。

(x - π/2)(tan x) = Σ[k=-1→∞] a(k) (x - π/2)^(k+1)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/03 08:52

＞ a(-1)/(z-π/2)から-1/(z-π/2)になるまでの詳しい過程の計算を教えて

(x - π/2)(tan x) において x = π/2 が可除特異点であって、このため
tan x のローラン展開が tan x = Σ[k=-1→∞] a(k) (x - π/2)^k と書ける
ってとこまでは ok なんですね？

だったら、内容を理解してない公式を持ち出すよりも、
(x - π/2)(tan x) = Σ[k=-1→∞] a(k) (x - π/2)^(k-1) なんだから
この右辺のテイラー展開の定数項を求めてしまえばいいじゃん。
定数項は、 a(-1) = lim[x→π/2] (x - π/2)(tan x) です。

計算は、
a(-1) = lim[x→π/2] (x - π/2)(tan x)
　　= lim[u→0] u tan(u + π/2)
　　= lim[u→0] u tan(u - π/2)
　　= lim[u→0] u( - tan(π/2 - u))
　　= lim[u→0] -u/tan u
　　= -1/lim[u→0] (tan u)/u
　　= -1/lim[u→0] (tan u - tan 0)/u
　　= -1/tan’ 0
　　= -1/(1/cos^2 0)
　　= -cos^2 0
　　= -1.
とかどお？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/03 04:40

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・

n≧-1
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

a(-1)
={1/(-1+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(-1+1){(z-π/2)tan(z)}
={1/0!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(0){(z-π/2)tan(z)}
=lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}
=lim_{z→π/2}{(z-π/2)sin(z)/cos(z)}
=lim_{z→π/2}{-sin(z)(π/2-z)/sin(π/2-z)}
=lim_{z→π/2}{-sin(z)}lim_{z→π/2}{(π/2-z)/sin(π/2-z)}

↓lim_{z→π/2}{(π/2-z)/sin(π/2-z)}=lim_{x→0}x/sinx=1だから

=-sin(π/2)
=-1

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ちなみに、
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
のa(0),a(1)は0になるため、
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
となるのでしょうか？

お礼日時：2023/06/03 11:08

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/02 21:47

tan(z)のローラン展開は

tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・ではなく

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・

a(-1)=-1
a(0)=0
a(2)=0
だから

tan(z)=-1/(z-π/2)+a(1) (z-π/2)+・・・
です

n=-1だから
a(-1)=lim_{z→π/2}{(z-π/2)tan(z)}=-1
だから

第1項はa(1)(z-π/2)ではなく
a(-1)/(z-π/2)=-1/(z-π/2)
です

この回答へのお礼

ありがとうございます。
a(-1)/(z-π/2)=-1/(z-π/2)において、
出来ればa(-1)/(z-π/2)から-1/(z-π/2)になるまでの詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/06/02 21:53