f(z)=tan(z) の 0<|z-π/2|<π での ローラン展開 f(z)=Σ_{n=-∞～∞

f(z)=tan(z)
の
0<|z-π/2|<π
での
ローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
の
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
において、

「n≧0の場合は
a(n)≠0となるとは限りません
a(n)=0となることもあり得ます」
と言われたのですが、なぜ「」のようになるのか具体的な計算を用いて説明して頂きたいです。



また、g(z)は|z-π/2|<πで正則だからテイラー展開できる
g(z)のテイラー展開は

g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^m

0<|z-π/2|<πで
と言われたのですが、
g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^mを導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dzの
  tan(z)/(z-π/2)^(n+1)をg(z)と置きました。
  その際にg(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^mを導いたそうなのですが、どうやってg(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^mを導いたかわからないのです。
  
  テイラー展開についてはx軸のある点xを中心に展開する近似式だと理解しています。

    補足日時：2022/07/11 07:07

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/13 01:05

「n≧0 の時は必ずa(n) ≠ 0」とはいっていない. a(n)=0 となることがあるかもしれないしないかもしれない, ただそれ

この回答へのお礼

ありがとうございます。
では、n≧0の時で、どんな時にa(n)=0 となることがあるかもしれないのでしょうか？

どうか教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/07/16 18:20

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/11 21:37

もともとの文章を書いた人がどのような意味を込めた (つもりである) のかは知らんけど,

「n≧0の場合は
a(n)≠0となるとは限りません
a(n)=0となることもあり得ます」
は
「n≧0 である個々の n について」
「a(n)≠0となるとは限りません
a(n)=0となることもあり得ます」
と解釈するのが自然. そして, 個々の n に対して a(n) は (有限確定なら) 「0 である」か「0 でない」かのどちらかなので, この部分はほぼ「当たり前のこ」とを言っているだけだ (「a(n) が有限確定」くらいの意味はある).

そもそも「a(n)=0となることもあり得ます」としか言っていないのだから, 「a(n) = 0」となる n が「必ず」存在するとは限らない. つまり
「n≧0の場合は
a(n)≠0となるとは限りません
a(n)=0となることもあり得ます」
は「すべての n≧0 に対して a(n) ≠ 0 である」ことを否定はしていない.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
>> 「すべての n≧0 に対して a(n) ≠ 0 である」ことを否定はしていない.

すなわち、n≧0 の時は必ずa(n) ≠ 0であるわけでしょうか？

お礼日時：2022/07/12 06:07

No.2 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2022/07/11 04:08

どこで躓いたんですかッ？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/11 04:08

上: 「a(n) ≠ 0 かもしれないし a(n) = 0 かもしれない」って, あたりまえでしょ? いったいどこに疑問の余地があるのさ.

下: 全く意味不明. そも g(z) ってなに? 「0<|z-π/2|<πで」の続きがなくブチ切れてるのはなぜ? あと, 「テイラー展開」がどのようなものなのか知ってるのか?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

上: 「a(n) ≠ 0 かもしれないし a(n) = 0 かもしれない」って, あたりまえでしょ? いったいどこに疑問の余地があるのさ.

n≧0の時はa(n) ≠ 0あるいはa(n) = 0のどちらかしかないと考えたためです。

n≧0の時はa(n) ≠ 0もa(n) = 0どちらも存在するならば、具体的な計算を用いて説明して頂けると納得出来ます。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/11 07:04