lim_（x→π/4) (sin x -cosx) / ( x - π/4) の極限値

いつもお世話になっています。
極限値を求める問題２問です。
(1)　lim_(x→π/4) (sin x - cos x) / (x - π/4)
　x-π/4 を　t と置いて考えてみたのですが、途中から分からなくなり　ました。

(2)　lim_ (x→1) (x-1)/{^3√(x) -1}
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/19 22:58

（1)　lim_(x→π/4) (sin x - cos x) / (x - π/4)

（x - π/4)＝ｔとおく。

lim_(ｔ→０) (sin（ｔ＋ π/4） - cos（ｔ＋ π/4）） /ｔ

lim_(ｔ→０) （1/ｔ）(sin（ｔ）cos（ π/4）＋cos（ｔ）sin（π/4）
　　　　　　　 - cos（ｔ）sin（ π/4）＋sin（ｔ）cos（π/4））

lim_(ｔ→０) （1/ｔ）(（1/√２）sin（ｔ）＋（１/√２）sin（ｔ））

lim_(ｔ→０) （1/ｔ）（(√２）sin（ｔ））
＝√２

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/04/19 23:52

#2です。

加法定理の公式に当てはめるだけなのですが・・・
分子の計算だけを考えることにします。
sin(x) - cos(x)
＝ sin(h+π/4) - cos(h+π/4)
＝ sin(h)* cos(π/4)+ cos(h)* sin(π/4) - { cos(h)* cos(π/4)- sin(h)* sin(π/4) }

あとは計算あるのみですね。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/04/19 02:34

こんばんわ。

x→(0以外の数)となるときは、一度置き換えをした方がわかりやすくなります。
いつも置き換えればいいというわけでもありませんが。

(1) x-π/4＝ hとでも置き換えることにします。
すると、x→π/4は h→ 0と置き換わります。
x＝ h+π/4を代入して、加法定理を使います。

置き換えをしない場合は、分子に対して和積公式を用いることになります。

(2) 分母の ^3√(x)は 3乗根のことですよね？以下ではその想定で。
x- 1＝ hとしてもいいのですが、ここは、x^(1/3)（xの 3乗根）を yとでも置くこととします。
すると、(分子)＝ y^3- 1となりますね。あとはこれを因数分解します。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ただ、加法からの解き方がまだ判りません教えてください。

お礼日時：2010/04/19 23:22

No.1 回答者： ItachiMasamune 回答日時： 2010/04/19 02:11

(1)xにt+π/4を代入して加法定理を使えばsin x - cos xはsinだけのしきになります。

sint/t→1なので簡単です。

(2)
^3√は3乗根x^(1/3)のこと？

xはx^(1/3)の3乗なので、x-1がa^3-b^3の形に見えるかどうかがポイント。この場合a=x^(1/3)、b=1。
因数分解の式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)を利用すれば、分子からx^(1/3)-1をくくり出せるので、分子を分母で割ることができる。