No.3
- 回答日時:
>その次の行で、 2πi/3 を足したり引いたりするとあります。
>この2πi/3は、一体どこから出てきたのかがわかりません。
z^3=-2+2i=√((-2)^2+2^2)e^(i3π/4)=2^(3/2) e^(i((3π/4)+2nπ))
n乗根を求める際はe^(i3π/4)の偏角に2nπを加えて一般角とします。
ここでは3乗根ですからn=-1,0,1とします(それ以外のnについては重複するので不要)。(nは通常、0を中心とする連続する3整数を採ります。)
z^3=2^(3/2) e^(i((3π/4)+2nπ))
z={2^(3/2) e^(i((3π/4)+2nπ))}^(1/3)
=2^(1/2) e^(i(π/4)+(2n/3)π)) (n=0,±1)
n=0としたのが z1=√2 e^(πi/4)
n=1としたのが z2=√2 e^(πi/4+(2πi/3))=√2 e^(11πi/12)
n=-1としたのが z3=√2 e^(πi/4+(-2πi/3))=√2 e^(-5πi/12)
となります。
この回答へのお礼
お礼日時:2014/05/25 17:12
>n乗根を求める際はe^(i3π/4)の偏角に2nπを加えて一般角とします。
・・・とても助かりました・・・。
ご回答、どうもありがとうございました!
No.2
- 回答日時:
>z^3=-2+2iを極座標表示(極表示)にすると。
nを整数としてz^3=-2+2i=2√2{-2/(2√2)+2i/(2√2)}=2√2(-1/√2+i/√2)
=2√2{cos(3π/4+2nπ)+isin(3π/4+2nπ)}=2√2e^{i(3π/4+2nπ)}
だから、
z=[2√2e^{i(3π/4+2nπ)}]^(1/3)=(2√2)~(1/3)e^{i(3π/4+2nπ)*(1/3)}
=√2e^{i(π/4+2nπ/3)}
n=0のときz=√2e^i(π/4)
n=±1のときz=√2e^{i(π/4±2π/3)}
となります。
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