階乗や対数関係の数学の問題

こんにちは、中学３年生です。
数学の問題が分かりません。

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3!=3×2×1
4!=4×3×2×1
5!=5×4×3×2×1

30!=2^x×N

であり、Nは奇数である。
この時、xの値は何かを答えよ。

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という問題があるのですが、どこから手を付けていいかよくわかりません...。電卓は使用可です。
対数とか常用対数の変換を使わなければいけないのかな、と想像していますが、実際どうなのでしょうか？
勉強不足ですみません。解説よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/28 11:46

30！=30×29×…×3×2×1 の右辺は 2 で何回割り切れるか？

30,29,…,3,2,1 の中には偶数が 30/2=15個あるので、まず 15回は割れる。
右辺を 2^15 で割ると、2 や 6 は 1 や 3 になってもう 2 では割り切れないが、
4 や 8 は 2 や 4 になってまだ 2 で割り切れる。
もともと 4 の倍数であったものは 2 度目 2 で割り切ることができるから、
右辺は更に 30/4 回 2 で割り切れる。あまりは切り捨てて [30/4]=7回。
同様に、もともと 8 の倍数であったものは 3 度目 2 で割り切れて、
その個数が [30/8]=3。 同様に繰り返すと合計で
[30/2] + [30/4] + [30/8] + [30/16] + [30/32] + …
= 15 + 7 + 3 + 1 = 26 回割り切れる。 左辺は、あるとこから先は皆 0 になる。
x=26.

一般に、自然数 n と素数 p に対して、
n！ は p で Σ{k=1→∞} [n/p^k] 回割り切れる。

この回答へのお礼

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お礼日時：2022/09/05 06:25

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/30 20:09

30! = 30×29× ・・・・ × 1

で、各因数の２を素因数の個数は
30 1
28 2
26 1
24 3
22 1
20 2
18 1
16 4
14 1
12 2
10 1
8 3
6 1
4 2
2 1

合計26個

x = 26

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お礼日時：2022/09/05 06:27

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/28 22:30

30! = 2^x N で N が奇数というなら, 「2^x」の部分は 30! を素因数分解すれば出てくる. つまり, 「電卓」で

30! を素因数分解すればいい.

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お礼日時：2022/09/05 06:25

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/28 11:41

30・29・28・27・26・・・・2・1

偶数だけ取ると
　30・28・26・・・・2
2を出すと
　15・14・13・・・・1 → 2^15

さらに偶数だけ取ると
　14・12・10・・・・2
2を出すと
　7・6・5・・・・1 → 2^7

さらに偶数だけ取ると
　6・4・2
2を出すと
　3・2・1・・・・1 → 2^3
残りの偶数は2だけなので

これらから
　2^15・2^7・2^3・2^1=2^26

この回答へのお礼

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お礼日時：2022/09/05 06:24