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私の解答と問題集の解答とは考え方が違うのに、解答だけは一致します。
どちらとも考え方は正しいのでしょうか?


問題1

常に一定の割合で水の流れこんでくるタンクに水が溜まっている。
同じ性能のポンプ8台でこの水を汲み出すと、7分で空にでき、3台では21分かかる。
ではこの水を5分で空にするには、何台のポンプが必要か。

私の解答

仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1
21(3x-y) = 1

これを解き、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合

5{ n*(2/105) - (1/105) } = 1
n = 11

より11台のポンプが必要 と導き出しました。
しかし、解説には

初めから存在する水の量を1とする
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

1+7y = 8*7x
1+21y = 3*21x

これを解くと、 x= 2/102、y= 1/105
5分でなくす場合
1+5*(1/105) = n*5*(2/105)
n = 11 (個)

となり、私の解答と問題集の解答とは一致しているかのように見えますが、
前者は初期の段階で入っていた水の量が無視されています。
それなのに何故答えは同じになるのでしょうか?
また、前者の解き方で今後続けてたら支障はでてくるのでしょうか?


問題2

あるサービス機関では、毎朝9時に受付を開始する。
受付開始時間までに行列を作って待っている人数は毎朝一定であり、
さらに毎分新たに到着して行列にならぶ人数も一定であると分かっている。
今、9時間に受付窓口を1つ設けると行列は60分でなくなり、受付窓口を2つ設けると
20分でなくなるという。この時、受付窓口を3つ設けると行列は何分でなくなるか。

私の解答
同様に仕事算と同じように1と置くと
窓口を x、来客を y

60 * (x - y) = 1
20 * { (2*x) - y } = 1

これを解くと、 x = 1/30 , y = 1/60 となり
受付窓口を3つにした場合

n { (1/30) *3 - (1/60) } =1
n = 12 (分)

となり、初期の段階で並んでいる客の数を考慮に入れなくても、答えと一致します。

また、問題に付属していた解説では、
初期の段階で列をつくっている人数を a人、新たに到着して列に並ぶ人数を x人
受付窓口1つで行列を処理できる人数をy人と置くと

a + 60x = 60y   …(1)
a + 20x = 20*2y …(2)

(1) - (2)より
y = 2x  …(3)
a = 60x

これを(1)に代入して、a = 60x …(4)
3つの受付窓口での行列がt分でなくなるとすると
a + tx = t * 6x
(3)、(4)を代入して、 t = 12 (分)


と、こちらの問題も初期に並んでいる人数を無視した私の解答と
無視していない模範解答とでは、答えもまたしてもおなじになります。
どうして、同じになるのでしょうか?
また、私の解き方はこのまま、今後も使っても大丈夫なのでしょうか?

お忙しいところすみませんが、どうかよろしくお願いします。

A 回答 (4件)

問題1について



あなたの解答と模範解答は同じものです。
ただ問題になるのはあなたが式の意味が分からずのに「仕事算」というパターンの中でただ文字を当てはめているだけだというところです。
「~算」というのをあちこちで見ますがいい加減にやめてほしいものです。

x、yを使った連立方程式として解いているのですから「~算」という特殊な解き方があると考える必要はありません。

>仕事算と同じように1と置いた場合
x= ポンプ、y=流れこんでくる水

7(8*x-y) = 1   式A1
21(3x-y) = 1   式A2


仕事算では「しなければいけない仕事の量を1と置く」という風に方針が示されているのでしょうね。
仕事算だから1と置くということではありません。どういうとき方であれ1と置くということは可能です。Aと置く、Xと置くでも同じです。
でもこの場合で言うとあいまいすぎます。
「初めに(ポンプのスイッチを入れてくみ出しを開始したときに)タンクの中にあった水の量を1と置く」という表現になります。
またx、yには「1分間当たりの」という言葉が抜けています。
(これらはあなたの解答でも、模範回答でも同じです。どちらの解答も不十分です。)
(さらにいえば水の量に単位を添えてほしいです。)

あなたの解答の式を移行して変形します。

7*8x=7y+1   式B1
21*3x=21y+1 式B2 

が出てきます。模範解答と同じです。

式B1の 7y+1 は「初めあった水の量に流れ込んだ水の量をくわえたもの」です。これだけの量をポンプでくみ出したはずです。それが左辺の7*8xです。

式A1の 8x-y は1分間にポンプでくみ出す水の量と1分間に入って水の量の差ですから1分間に減少するタンクの中の水の量です。7分間で空になるということですから、これに7を掛けると初めにあった水の量になります。

どちらで考えても同じです。

同じであるということが分かっておられないということは式を立てる時に意味を考えていないということです。
ただ「~算」の解法のマニュアルに沿って式を立てただけでしょう。 

>前者は初期の段階で入っていた水の量が無視されています。
無視なんかしていません。右辺の1は初めにあった水の量です。
こういうことが起こるのを避けるためにも「1と置く」のではなくて文字を置く方がいいでしょう。

式を立てる時は必ず式の意味を考えてください。
「=」で結ばれた式であらわされるというのは必ず等しくなる量が存在するということです。
どういう量について等しいと考えたのかを意識しない限りこれからさき、方程式を浸かって行くことはできないでしょう。そのためにも「~算」という発想を捨てることです。「~算」というのはなぜそういう式を立てることができるかを考えないようにしている解法だからです。

後々に物理や、化学で方程式を使うことを考えると
量には単位を付けることをやっておくほうがいいでしょう。
初めにあった水の量を「P[L]とする」でも「Q[kg]とする」でもいいです。
体積で表したのであれば
ポンプが1分間にくみ出す水の量をx[L]、1分間に流れ込んでくる水の量をy[L]とする
という表現になります。
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(1)に関して、あなたは、自分の解答と解説は違うと言っていますが、そんなことありませんよ。

同じです。

7(8*x-y) = 1
1+7y = 8*7x

この2式は、同じ式です。

7(8*x-y) = 1
8*7x-7y = 1
8*7x = 1+7y
1+7y = 8*7x

同じ係数でくくってあるかどうか、右辺にあるか左辺にあるか、の違いだけです。

21(3x-y) = 1
1+21y = 3*21x

この2式も、同じ式です。

5{ n*(2/105) - (1/105) } = 1
1+5*(1/105) = n*5*(2/105)

そして、この2式も、同じ式です。

答えが一致するのは当たり前です。

(2)に関してはよく見ていませんが、同じ意味の変数を同じ文字にすると、同じ式になるんじゃないですかねぇ。
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こんばんは。


問題1の方だけで充分です。

ちょっと危険な気がします。
No.1さんも書かれていますが、 何をもって 1 としているのか、が
明確にはなっていません。

じつは、最初に入っている水の量を1とする、という問題集の解法と
偶然に一致しているだけです。
 #これは危ないですよ。

式を立てるときに、
>7(8*x-y) = 1  21(3x-y) = 1
この二つの式の右辺が何故1なのかが、抜け落ちてしまっている気がします。

yを移項すると、(左辺)=ポンプで水をくみ出す量
        (右辺)=元あった水の量(1として)+流れ込んでいる水量

と偶然になっていると思ったほうがよさそうです。

仕事算だと思わないほうがいいのかもしれませんよ。

後々に支障が出るかどうかは、進む道次第でしょうが、
数学のやり方として、余り好ましいとはいえないと思います。
 #たまたまあっているだけですから。

試しに、最初にある水の量を2として解いてみてください。
結果同じになりますから。

私なら、問題集の解法のほうをお勧めします。
 #この場合は仕事算ではないと考えた方がよさそうです。
 #途中で増えるのですからね、仕事が・・・。

がんばってね。
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本題とは関係ありませんが....


少なくとも, あなたの「解答」は「答案」としてはあまり適切ではありません.
「仕事算と同じように1と置いた」と書いていますが, 「仕事算」と書くことには何の意味もありません. そんなことを書くのではなく「何を 1 とおくのか」を書くべき.
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