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整数全体の集合をZとするとき、次の問いに答えよ。
集合Xを
 X={5m+7n|m,n∈Z}
とするとき、X=Zであることを示せ。

という問題です。

解答
[1]k∈X ならば k=5m+7n(m,n∈Z)と表される。
  5m+7n∈Z であるから k∈Z
  よって、k∈X ならば k∈Z であるから X⊂Z

ここまでは作ったのですが、

[2]z∈Zとする。
  z=○z-○z

などとして、そこから Z⊂X を証明するための計算を作れません。
どのような方法が可能でしょうか?

よろしくお願いします。

  

A 回答 (3件)

証明自体はよいと思います。



ユークリッドの互除法は
z=15z-14z=5・(3z)+7・(-2z)
という、一見、かなりトリッキーな式変形を行っているところ、
で使います。
まあ、
X={5m+7n|m,n∈Z}
なら、まあ目分量でもなんとかなるでしょうが、
たとえば、
X={1234567m+7654321n|m,n∈Z}
として、全く同じ問題がでたら、どうでしょう。

以下、一応、トリッキーな部分の概略
まず、1234567と7654321の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。

246919 = 7654321 - 6×1234567 …(1)
246891 = 1234567 - 4×246919 …(2)
28 = 246919 - 246891 …(3)
15 = 246891 - 8817×28 …(4)
13 = 28 - 15 …(5)
2 = 15 - 13 …(6)
1 = 13 - 6×2 …(7)

で、
(1)の左辺を(2)の右辺に代入
(2)の左辺を(3)の右辺に代入

(6)の左辺を(7)の右辺に代入
ってやっていって、整理すると
573192×7654321 - 3553793×1234567 = 1
ってことがわかります。
後は、同じです。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

4桁の数(例えば、2952と1368)だと

2942=1368×2+216
1368=216×6+72
216=72×3+0

なので

72=1368-216×6
 =1368-(2952-1368×2)×6
 =1368×13+2952×(-6)

と計算できるのですが、
1234567と7654321のような7桁の数になると
計算が複雑で行き詰ってしまいました。。。
エクセレントな計算方法を教えていただけるとうれしいです♪

お礼日時:2009/07/15 21:32

一応、証明の流れを書いておくと、


m=3,n=-2とすると、
5m+7n = 1 です。(実際には、こういうm,nの組を見つけるのに、ユークリッド互助法を使います)
というわけで、
z∈Z に対して、
m=3z,n=-2z とすれば
z = 5m+7n
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
昨夜、赤チャートの方法に基づいて解いてみたのですが
rabbit_catさんのおっしゃるようにできていますか?

お礼日時:2009/07/13 00:35

X⊂Zであることは証明するまでもないでしょう



逆の包含関係は
互いに素な整数の有名な性質そのものです.
ユークッリドの互除法そのものです.
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この回答へのお礼

回答、ありがとうございます。
赤チャートのやり方に習って
なんとかやってみました。

解答
[1]k∈X ならば k=5m+7n(m,n∈Z)と表される。
  5m+7n∈Z であるから k∈Z
  よって、k∈X ならば k∈Z であるから X⊂Z
[2]z∈Zとする。
のつづき

 z=15z-14z=5・(3z)+7・(-2z) であり、
 3z∈Z,-2z∈Z であるから z∈X
 よって、 z∈Z ならば z∈X であるから Z⊂X
[1]、[2]から X=Z

ここにユークリッドの互除法がたぶん使われているということなんですね。
もう少し勉強してみます!


 

お礼日時:2009/07/12 23:58

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