数学的帰納法

Question

今高校で数学的帰納法をやっているんですが、模範解答を見ても解き方がわからない問題があります。　お力貸してください。

nを自然数とするとき、数学的帰納法によって次の等式を証明せよ。
　　(n+1)(n+2)(n+3)……(2n)＝2のn乗×1×3×5×……×(2n－1)
　模範解答・・・　[１]n＝１のとき、左辺＝1+1＝２、右辺＝２　より成り立つ。
　　　　　　　　　[２]n＝kのとき与式が成り立つと仮定すると、
　　　(k+1)(k+2)(k+3)……(k+k)＝2のn乗×1×3×5×……×(2k－1)
　------------------------------------------------------------
　　ここまでは分かります。以下がわかりません。
　この両辺に〔(k+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕を乗じると、（なんでここでこれを乗じるんですか??）

左辺＝(K+1)(K+2)(K+3)…(K+K)〔(K+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕
　　
（以下こんな感じです）

右辺＝・・・・・
k+1≠0より左辺と右辺を(K+1)で割ると、これはn＝k+1のときにも与式が成り立つことを示している
　[１][２]よりすべての自然数nに対し与式は成り立つ。

　途中からがよくわかりません。分かる方いらしたら教えてください。

noname#47894 · Accepted Answer

数学的帰納法は、
I　n=1のとき、命題（証明の対象となる式などのことです）が、正しい（真である）ことを示す。
II　n=kのときの命題が真であることを仮定し、その条件下でn=k+1のときの命題が真であることを示す。

の手順で導きます。

ここで確認しておいて欲しいのですが、数学IIのおそらく最初の方で条件付の等式の証明、というものをやっているはずです。
万が一、忘れている場合は、一問ぐらい解きなおしてください。上記のIIの部分でほぼ同じようなことをやりますから。

したがって、あなたが解かなければならないのは、
(k+1)(k+2)(k+3)……(k+k)＝2のk乗×1×3×5×……×(2k－1)
のとき
（...ここまでが条件式＝つまり証明のために使ってよい式です　ここでは＊と名づけておきます）

(k+2)(k+3)(k+4)……(k+k)（2K+2）＝2の(k+1)乗×1×3×5×……×(2k-1)(2k+1)
が成り立つことを示せ　という実質的には条件付の等式証明問題です。

証明問題ですから、左辺と右辺を切り離してから証明するのが安全です。ここで、条件式＊と左辺を似たような式にするために、
（ｋ＋１）をかけたものについて証明します。
左辺×(k+1)＝(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)……(k+k)(2k+2)
　　＝2のk乗×1×3×5×……×(2k－1)(2k+2)　（条件式＊を使った）
　　＝2のk乗×1×3×5×……×(2k－1)(k+1)×2
　　＝2のk+1乗×1×3×5×……×(2k－1)(k+1)
　　＝右辺×(K+1)
ｋ＋１≠０　であるから、左辺＝右辺。
よって、n=kのとき命題が真であれば、n=k+1のときも、命題は真。

帰納法が良く分からない原因は、与えられた式（など）が、証明に使う条件でもあり、証明対象でもあることにあります。ここを区別しないと混乱した答案になります。
論理を整理して、じっくり取り組んでください。

0lmn0lmn0 · Answer

Ａ（ｋの時の左辺）＝Ｂ（ｋの時の右辺）　　　　　（１）
Ｃ（ｋ＋１の時の左辺）＝Ｄ（ｋ＋１の時の右辺）（２）

ＡＢＣＤは全て（実際には/解法としては）既知です。（後述）。
（１）を、どう操作したら（２）になるか、です。
ーーー
(k+1)(k+2)・……・(2k)　　　　　　　　={2^k}{1・3・5・……・(2k-1)}
 　　　(k+2)(k+3)・…・(2k+1)(2k+2)={2^(k+1)}{1・3・5・……・(2k-1)(2k+1)}

下式の両辺を上式の両辺で割ると、
(2k+1)(2k+2)/(k+1)=2(2k+1)　となります。
上式の両辺に(2k+1)(2k+2)/(k+1)=2(2k+1)を掛けると、
下式の両辺になります。
ーーー
しかしながら、
数学的帰納法によって証明できる保証はありません。
教科書や参考書の問題だから保証できると言う論理は通用しないのです。
Ｄ（ｋ＋１の時の右辺）={2^(k+1)}{1・3・5・……・(2k-1)(2k+1)}を、
論理的に既知と出来ません。
教科書や参考書はこの部分を明示しません。（隠している）。
（隠している）ために、判り難くなります。
この部分の計算は、
そんな計算はしていない。という顔をして、
突然に、上式の両辺に{(2k+1)(2k+2)/(k+1)}を掛けざるを得ないのです。
蛇足を書いて終わります。

{(k+1)(k+2)・…・(2k)}={2^k}{1・3・5・……・(2k-1)}

{(k+1)(k+2)・…・(2k)}{(2k+1)(2k+2)/(k+1)}={2^k}{1・3・5・…・(2k-1)}{(2k+1)(2k+2)/(k+1)}
(k+2)・…・(2k)(2k+1)(2k+2)={2^k}{1・3・5・……・(2k-1)}{2(2k+1)}
(k+2)・…・(2k)(2k+1)(2k+2)={2^(k+1)}{1・3・5・……・(2k-1)(2k+1)}

koko_u_ · Answer

>　ってところがよくわかりません。
>どこにどういう法則があるのでしょうか??　何度もすみません。
ANo.2 の方はわざわざ satoshiaonami さんが考える余地を残してくれておるわけです。
自分でノートに式を書いて考えましょう。

kabaokaba · Answer

#2です．書き忘れてた(^^;

この問題，解くだけなら帰納法なんか使わない方が簡単です

左辺 = (2n)! / n!
= (2から2nまでの偶数の積)(1から2n-1の奇数の積) / n!
= 2^n * n!  (1から2n-1の奇数の積) / n!
= 右辺

これだけです．

kabaokaba · Answer

帰納法の場合，分からなかったらまずは
具体的にどんどん書き下すのです．
小さい値のケースを調べるのです．
そうすると規則が見えてきて
解答はそれを整理して（泥臭い計算は隠して）書きます．

n=1 左辺 = 1+1 =2，右辺 = 2^1 * 1 = 2 
n=2 左辺 = (2+1) (2+2) = 3 * 4= 12
    右辺 = 2^2 * 1 * 3 = 12
n=3 左辺 = (3+1)(3+2)(3+3) = 4 * 5 * 6 = 120
    右辺 = 2^3 * 1 * 3 * 5 = 120
n=4 左辺 = (4+1)(4+2)(4+3)(4+4) =  5 * 6 * 7 * 8= 120
    右辺 = 2^3 * 1 * 3 * 5 = 120

分かりますか？左辺に「共通」してる規則．
完全に一致してるところと，一致してないところ
一致してないところも「二倍」になってて，右辺に 2 がある
そこで一般の場合

n=k 左辺 = (k+1)(k+2)・・・(k+k)
    右辺 = 2^k * 1 * 3 *・・・* (2k-1)
左辺と右辺が等しいと仮定する
＃見つけた規則を念等におくと

n=k+1 
左辺 = ((k+1)+1) ((k+1)+2)・・・
                 ((k+1)+(k-1))((k+1)+k) ((k+1)+(k+1))
     = (k+2)(k+3)・・・・ (k+k) * ((k+1)+k)((k+1)+(k+1)) 
     = (k+2)(k+3)・・・・ (k+k) * ((k+1)+k) * 2(k+1)
     = 2 (k+1) (k+2)(k+3)・・・・ (k+k) * ((k+1)+k)
     =  2 (k+1) (k+2)(k+3)・・・・ (k+k) * (2k+1)
帰納法の仮定より
     =  2 * (2^k * 1 * 3 *・・・* (2k-1)) * (2k+1)
     = 2^{k+1} * 1 * 3 *・・・* (2k-1) * (2k+1)
     = 右辺 

模範解答の
「この両辺に〔(k+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕を乗じる」
というのは
n=k+1のときの「左辺」を構築するために行っている操作です．
ところが，それを整理すると
ちょっと余計に掛け算してることがわかるので
それを割っているのです．

ぶっちゃけた話，この模範解答はよい解答とは思えません．
n=k+1のときを考えるならば
n=k+1の式を実際に書き下してそれを整理する方が
流れとしては自然ですし，
実際，この模範解答でも「n=k+1のとき左辺」が
具体的にどういう形なのかが使われています．
それなら最初から「n=k+1のとき左辺」を直接計算する方が
手順が少ないですし，思考の流れも自然です．

ここで使われている
「欲しい形を得るために
とりあえず余計なものを掛けておいてあとで割る」
のは，この問題に使うには過剰なテクニックですね
＃これが役に立つケースもあります．
＃平方完成で使う「足しておいて引く」の
＃掛け算版の手法ですから

koko_u_ · Answer

>この両辺に〔(k+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕を乗じると、
>（なんでここでこれを乗じるんですか??）
たしかに「模範解答」とは言えませんね。

示したい命題を n = k+1 の場合について書いて下さい、その式中に今仮定している n = k の場合が含まれています。

数学的帰納法

数学的帰納法は、

Ａ（ｋの時の左辺）＝Ｂ（ｋの時の右辺） （１）

> ってところがよくわかりません。

#2です．書き忘れてた(^^;

帰納法の場合，分からなかったらまずは

この回答への補足

>この両辺に〔(k+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕を乗じると、

この回答への補足

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Ａ（ｋの時の左辺）＝Ｂ（ｋの時の右辺）　　　　　（１）

>　ってところがよくわかりません。