球座標系の拡散方程式

ある論文を読んでいるのですが、二つの式の関係がわからなくて困っています。球状の気泡の成長に関するモデルです。一つ目の式中に,
∂c/∂r |_r=R ・・・(1)
という項が出てきます。半径ｒ=Rのときの∂c/∂rの値という意味です。二つ目の式は球座標の拡散方程式の径方向成分です。
∂c/∂t = (D/r^2)*(∂/∂r)*(r^2*∂c/∂r)・・・(2)
論文では「(1)は式(2)を積分法で解析的に解いて求めた。」とあるのですが、具体的にどういう手順で解いたのかがわからなくて困ってます。
・(2)式の右辺は微分してD(∂^2c/∂r^2 + (2/r)*(∂c/∂r))と変形できるとおもいますが、積分するのだからこんなことしなくてもいいのでしょうか。
・定常状態として(2)式の左辺を0として、適当に境界・初期値条件を入れて解いたということでしょうか。それとも非定常状態としてそのまま左辺も右辺も積分するのでしょうか（それができるのかどうかもわかりませんが）。
計算手順の概略だけでも教えていただくと助かります。細かい計算は自分でやりますので。

No.3 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/25 18:01

こんにちは。

やはり両辺を体積分したのではないですか？

> d/dt((4pi*r^3*P)/(3RT))=4piR^2D*∂c/∂r |_r=R ・・・(1)

この右辺は、まさしく(2)の右辺を体積分したものになっています。
∫r^2dr∫dΩ (右辺) を実行すると、∫dΩ = 4π なので、すぐに導かれます。∫drの上限は R ですから、D r^2*∂c/∂r に R を代入したものになりますね。

これはガウスの積分定理を適用したのと同じことです。

左辺のほうは、∫dV ∂c/∂t = ∂/∂t (∫dV c(r,t) ) のようにして体積分を実行できます。

ところで、(2) で、(∂/∂r)* のように「*」で掛け算になっているのはおかしいですよ。微分演算子は数ではないので、掛け算ではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。おかげさまで導出ができました。
＞ところで、(2) で、(∂/∂r)* のように「*」で掛け算になっているのはおかしいですよ。微分演算子は数ではないので、掛け算ではありません

知りませんでした。以後気をつけます。

お礼日時：2007/07/25 22:52

No.2 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/25 03:09

こんにちは。

そうですね…

とりあえず、わかることだけ。

(2) の右辺は、c(r,t) について、div(grad c) を極座標で書いたものであり、
一方、(1) は、grad c のr方向の成分の r=R での値なので、

おそらく、(2) か、そこから出てくる式を、球状の体積を V として、体積分したのではないですか？

ガウスの積分定理

∫dV div( grad c ) = ∫dS [grad c]_r

を使います。右辺の [grad c]_r は、ベクトル grad c の r方向の成分を表します。それで、球対称な問題では、球面上で [grad c]_r は一定なので、右辺は S [[grad c]_r]_{r=R} になり、(1) に比例します。

> ・(2)式の右辺は微分してD(∂^2c/∂r^2 + (2/r)*(∂c/∂r))と変形できるとおもいますが、積分するのだからこんなことしなくてもいいのでしょうか。

体積分すれば ∫r^2 dr が出てきますので、右辺はそのままで積分できますよね。ちょうど1/r^2の因子と、r^2 dr の r^2 が打消しあいますので、微分をばらさないほうが良いと思います。
また、この体積分で dr が実行できますが、それは積分定理を使ったのと同じことです。

> ・定常状態として(2)式の左辺を0として、適当に境界・初期値条件を入れて解いたということでしょうか。それとも非定常状態としてそのまま左辺も右辺も積分するのでしょうか（それができるのかどうかもわかりませんが）。

境界条件を使っていることは間違いないですが、定常状態かどうかは、情報が少なすぎてわかりません。

この回答への補足

ありがとうございます。１．の方の補足に(1)式を記述しました。上記のアドバイスをフォローするのにちょっと時間がかかりますので、何かその他の追加があればよろしくお願いします。

補足日時：2007/07/25 07:03

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/07/25 00:06

＞∂c/∂r |_r=R ・・・(1)

＞という項が出てきます。
どう出てくるのですか？
少なくとも一つ目の式というもの自体を示してくれないと答えようがないです。

この回答への補足

すみませんでした。
d/dt((4pi*r^3*P)/(3RT))=4piR^2D*∂c/∂r |_r=R ・・・(1)
となります。左辺は気泡中のガス粒子数（気体の状態方程式より）の時間変化です。

補足日時：2007/07/25 06:58

この回答へのお礼

追加です。(1),(2)式のほかに気泡界面における力のバランス式がでてきます。
dr/dt = r/4y(P-2G/r)・・・(3)
y:粘性係数,G:気泡の表面エネルギー

お礼日時：2007/07/25 07:12