2009年京都大学（文系）の入試問題・・・微分方程式

整式f(x)と実数Cが

インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　インテグラル（上端1/下端0）(x+y)^2dy = x^2 + C

を満たすとき、このf(x)とCを求めよ。


という問題です。
展開してxを出すと、
インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　x^2インテグラル（上端1/下端0）f(y)dy　+　2xインテグラル（上端1/下端0）yf(y)dy = x^2 + C
となりますが、模範解答ではここから両辺をxで微分しています。
しかし、私はこれを微分方程式として、f(x)をn次式とおいて、解いてみました。

f(x)をn次式とおくと、
（左辺の最高次数）≦　n+1
（右辺の最高字数）=　2
与式はxについての恒等式であるから、（左辺の最高字数）＝（右辺の最高次数）より、
2 ≦ n+1
n ≧ 1
となってしまいます。本当は n ≦ 1となるべきところですよね？

このタイプの微分方程式の問題は以前にも解説をしてもらい、前回質問したときの問題では解決したのですが、
問題が変わり、前回と同じやり方で解こうとすると、このように結果があわなくなってしまいます。

私が解いた方法でどこが間違った答えが出た原因になっているのか教えてください。
数学は苦手なほうなので、詳しめに解説してもらえるとありがたいです。

また他の解き方があれば、そちらも教えてほしいです。
もちろん、メインはどこが間違っているのかという方ですが。

それではよろしくお願いします。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/12 14:56

>インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　インテグラル（上端1/下端0）(x+y)^2dy = x^2 + C

の左辺を変形した

>インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy　+　x^2インテグラル（上端1/下端0）f(y)dy　+　2xインテグラル（上端1/下端0）yf(y)dy = x^2 + C

の左辺が同じではありません。

>となりますが
となりません。

問題にミスがありませんか？
式の変形にもミスがあるようです。

問題を正しく書き直し、積分の書き方もこのサイトの他の回答に習って書いて下さい。
⇒∫[0,1]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C
ではないですか？

そうであれば
∫[0,1]f(y)dy+x^2*∫[0,1]f(y)dy+2x*∫[0,1]yf(y)dy+∫[0,1]y^2*f(y)dy
=x^2+C
となるはずですが、貴君の積分の展開は間違っているようです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/03/12 15:38

元の問題は

∫[0,x]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C
のようです＞#1.
だとしても, f が 2次以上になってもうれしくないと思う.
あと f を n次としても
(左辺の最高次数) ≦ n+1
とは限らないことに気づいてる?

この回答への補足

問題の転記ミスでした
ごめんなさい

(左辺の最高次数) ≦ n+1

の部分が間違ってるということですよね？
正しくは不等号の向きが逆ということですか？

その解説をお願いします

補足日時：2010/03/12 18:12

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/12 18:25

出典が明記してありますから、

問題の式は、調べれば判るんですよね。
No.2 さんの言うとおりなのかな。
質問文どおりの式で、f を多項式に制限しない
でおくのも、味のある問題だと思うけど。

質問の点については…
左辺第一項が n+1 次、第二項が 2 次なので、
左辺は n+1 と 2 の内の大きいほう以下です。
右辺は 2 次ですから、併せると、
max(n+1,2) ≧ 2。
これは、n+1 ≦ 2 ということですね。

この回答への補足

最後の２行の

max(n+1,2) ≧ 2。

から

これは、n+1 ≦ 2 ということですね。

になる理由がわかりません…
解説お願いします

補足日時：2010/03/12 18:48

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/12 19:57

n+1 ＞ 2 であれば、

max(n+1,2) = n+1 ＞ 2 となって、不成立。
n+1 ≦ 2 であれば、
max(n+1,2) = 2 ≦ 2 となって、成立。

この回答への補足

n+1 ＞ 2 が不成立
となるのは最初にnを最高次数とおいてるのに
n＞1となってしまい最高次数がわからないから
という解釈で合ってますか？

あと、この2つの場合分けから
n+1次項はつねに2次以下という解釈で合ってますか？

補足日時：2010/03/12 21:16

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/12 22:34

#1です。

>∫[0,x]f(y)dy+∫[0,1](x+y)^2*f(y)dy=x^2+C　…(3)
#2さんのお書きの式で良いですね>質問者さん

xで微分して
f(x)+2∫[0,1](x+y)*f(y)dy=2x
さらに　xで微分して
f'(x)+2∫[0,1]f(y)dy=2
f'(x)=2-2∫[0,1]f(y)dy=a(定数)…(1)
とおけるのでf(x)は一次の整式ということが分かります。

f(x)=ax+b …(2)
とおき(1)に代入すると
2-2(a/2+b)=a, 2-a-2b=a ∴b=1-a
(2)に代入して
f(x)=ax+1-a …(4)
(3)の左辺に代入すると
左辺=(a/2)x^2+(1-a)x+∫[0,1](x+y)^2*(ay+1-a)dy
=(a/2)x^2+(1-a)x-(1/2)(a-2)x^2-(1/3)(a-3)x-(1/12)(a-4)
=x^2+(2/3)(3-2a)x-(1/12)(a-4)
　　=右辺=x^2+C
これが常に成立する条件から
　　3-2a=0, C=-(a-4)/12
∴a=3/2, C=5/24
(4)に代入して
　f(x)=(3/2)x+1-(3/2)=(3/2)x-(1/2)=(3x-1)/2
与式の積分定数C=5/24
となりました。

合っているか、確かめてみて下さい。

この回答への補足

ありがとうございます
合ってます

ですが私が質問したn次式とおいたほうの解説もお願いしたいです

補足日時：2010/03/13 12:03

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/13 08:47

←No.4 補足

何を言っているのか、意味不明です。
左辺の次数は、解らないのではなく、
n+1 と置いたのでしょう？

No.4 に書いたのは…
n+1＞2 と n+1≦2 に場合分けすると、
n+1＞2 の場合は、
左辺第一項が 3 次以上で
左辺第二項が 2 次だから、
左辺は 3 次以上となって
右辺の 2 次と一致しない。
したがって、その範囲には解は無い。
…ということですよ。

ちなみに、私が解説しているのは、
途中で改変される前の
貴方が投稿したほうの問題です。

この回答への補足

そうだったんですか

私が投稿したのはただの写し間違いなので
すみませんが京大のほうの解説をお願いします

投稿している途中計算も京大の問題のほうです

補足日時：2010/03/13 11:56

No.7 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/13 16:15

#1,#5です。

A#5の補足について

>ですが私が質問したn次式とおいたほうの解説もお願いしたいです
貴君が自身で書いたのなら貴君が分かっているはずです。
本来の質問が不正確で間違いが多くまず正確に貴君の解答を書きなおしていただかないと的確な回答ができません。

>私はこれを微分方程式として、f(x)をn次式とおいて、解いてみました。
微分方程式でなく積分方程式です。

>f(x)をn次式とおいて
この段階ではf(x)が整式という保証がないので、整式で表せるということを示してからでないと、問題があります。またn次式とする場合nの範囲を付すのが普通ですが、下限は0または1のどちらか、上限は1,2, ...のどれかの範囲は何も指定しないのでしょうか？　…(☆)

さておき
>f(x)をn次式とおくと、
f(x)をn次の整式（nはn≧0の整数）とおけると仮定して話を進めると

>（左辺の最高次数）≦　n+1
ではなく、（左辺の最高次数）＝Max(n+1,2)
です。
>（右辺の最高字数）=　2
したがって
>与式はxについての恒等式であるから、（左辺の最高字数）＝（右辺の最高次数）より、
>2 ≦ n+1
>n ≧ 1
>となってしまいます。
>本当は n ≦ 1となるべきところですよね？

ではなく、
Man(n+1,2)=2の場合は n+1≦2 ∴0≦n≦1
Max(n+1,2)=n+1の場合は n+1=2　∴n=1
ということになります。
まとめると 「n=0 または 1」ということになります。

なお、
n=0の場合はf(x)=cとおいて元の積分方程式に代入すると成り立ちませんから排除されます。したがって、
n=1の場合はf(x)=ax+bとおけば,A#5のような計算から元の積分方程式を満たすf(x)が
f(x)=(3x-1)/2（ただしC=5/24）
と確定します。

しかし貴君の解答では(☆)のことに何も説明しないでn次式と仮定していることは減点対象となるかも知れません。

この回答への補足

ありがとうございます

問題文に整式f(x)とあるので多項式とわかるのではないですか？


あとn=1のときに2乗の項が打ち消しあって
左辺の最高次数がn+1次より小さくなることはありませんか

補足日時：2010/03/13 21:42

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/13 19:04

←No.6 補足

京大の過去問は入手していませんが、
A No.2 の式でよいのでしょうか。

そうであれば、
次数に関する話は No.3 No.4 と同じです。
左辺第二項が x の二次式であることに
変わりはありませんから。

No.9 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/14 00:32

#1,#5,#7です。

A#7です。
>問題文に整式f(x)とあるので多項式とわかるのではないですか？
見落としていました。そう書いてあるので無条件に整式として扱えばいいです。失礼しました。

>あとn=1のときに2乗の項が打ち消しあって
>左辺の最高次数がn+1次より小さくなることはありませんか

一般論では可能性はありえますが、
n=1の場合は、f(x)=ax+b（したがって,f'(x)=a）と置いて確認すれば、そういう可能性は排除できます。

No.10 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/14 13:01

No.3 No.4 の考察から得られるのは、

n=1 ではなく、n≦1 です。

だから却って、f(x)=ax+b と置きやすいのです。a≠0 かどうかを考えなくて済みますから。

この回答への補足

返事が遅くなりすいませんでした

あと少しでわかりそうなのですが
No4について
2≦2の解説をお願いします

補足日時：2010/03/17 00:13