
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
問題の式が不明確(誤っていそう)なので,
f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29・・・(1)
でよいのかどうか, 補足してもらえませんか?
もしこの通りだと, どうもきれいに出ないのでおかしいのでは?
いずれにしても, 方針は
(1)はx=0,1,-1を順に代入した式を作って, f(0),f(1),f(-1)の連立方程式を解いて決定.
(2)は最高次の項をax^n (a≠0)として,
(今のままの式の場合だと)n≧1ならば, 左辺は2n次, 右辺は(n+3)次なので, 与式が恒等式であることより, 両辺の(最高)次数は同じなので, 2n=n+3 より n=3
また, n=0 (f(x)=定数)のとき, 左辺は定数で, 右辺はf(x)が0なら1次, 0でない定数でも3次で,両辺の次数が一致せず, 矛盾. よってn≠0 [などと考察.]
以上より, f(x)は3次式
(補足その1)なお, (1)でf(0),f(1),f(-1)が具体的に求まっていれば, 実際には, 多分f(x)が定数でないことはすぐいえるでしょう.
(補足その2)この段階ではf(x)が存在するとすれば3次式であるという,『必要条件』に過ぎませんが, この手の問題では, 次に具体的に求めて十分性を確かめるので, (2)ではここで止めておいてよいです.
(3)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a,b,c,d は定数, a≠0) とおく.
いきなり(1)に代入してもよいが,大変なので,f(0),f(1),f(-1)の条件で先に形を絞っておいてから元の式に代入して係数を決定.
この回答への補足
f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29と同じことです!分かり難くてすいません・・・。
補足日時:2002/09/21 23:46No.5
- 回答日時:
質問者さんの再度の補足にもかかわらず,問題文が最初から間違っていたようで,試
行錯誤の結果わかりました.
正しい(と思われる)問題は
xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29・・・(*)
です.(もともとの問題のタイプミスでしょう.)
他に,fx(X二乗-1),f(x^2-1),fx(x^2-1),f(x(x^2-1))はすべて意味不明もしく
はf(0),f(1),f(-1)などの時点で既に答えが煩雑な分数になり,どう見ても不自然
で,おそらく妥当な(うまく解ける)問題は(*)だけとみられます.
(訂正後の式)
xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29・・・(*)
[略解]
(1) x=0,1,-1を順に代入して整理した結果は
x=0より 5f(0)+2f(1)+f(-1)=29・・・(1)
x=1より f(0)+5f(1)=33 ・・・(2)
x=-1より f(0)+f(-1)=5 ・・・(3)
これらを連立して解いて,
f(0)=3, f(1)=6, f(-1)=2
(2) (1)の結果より,f(x)は定数ではなく,1次以上の整式である.すると,最
高次の項をax^n (a(≠0)は定数,nは正の整数)と置ける.
与式の両辺の次数について,左辺は(第1項が最高次で) 2n+1,右辺は(第1項が最高
次で) n+3.
よって,恒等式の両辺の次数は一致するので, 2n+1=n+3 ⇔ n=2
(原題と違うので,同じ方針でやってもここで次数が違って来ています.)
よって,f(x)は2次式.
(これは本当は必要条件ですが,これで終わって良い理由は先に述べました.)
(3) (2)の結果より,2次式f(x)=ax^2+bx+c (a,b,cは定数,a≠0) と置ける.
(1)より
f(0)=c=3
f(1)=a+b+c=6
f(-1)=a-b+c=2
これらを連立して解くと,a=1, b=2, c=3
よって f(x)=x^2+2x+3 (必要条件)
逆にこれを用いて与式の左辺と右辺を別々に計算すると,ともに x^5-5x^2-8x-15
(計算略)
となり,確かに恒等的に与式は成立.よって十分条件でもある.
以上より
f(x)=x^2+2x+3
No.4
- 回答日時:
【問題】
整式f(x)が、xについての次の恒等式を満たすとき、下記の(1)~(3)の設問に答えよ。
f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29 … (*)
(1) f(0),f(1),f(-1)の値を求めよ。
(2) f(x)の次数を求めよ。
(3) f(x)を求めよ。
【解答】
(1)
(*)において、x=0とすれば、
f(-1)-5f(0)=f(-1)+2f(1)-29
∴ 2f(1)+5f(0)=29. … (a)
また、x=1とすれば、
f(0)-5f(1)=2f(0)-33
∴ f(0)+5f(1)=33. … (b)
さらに、x=-1とすれば、
f(0)-5f(-1)=2f(0)-25
∴ f(0)+5f(-1)=25. … (c)
(a)×5-(b)×2より、
(5×5-2)f(0)=29×5-33×2
∴ 23f(0)=79
∴ f(0)=79/23. … (d)
(d)を(b)に代入して、
79/23+5f(1)=33
∴ f(1)=(33-79/23)/5=136/23.… (e)
(d)を(c)に代入して、
79/33+5f(-1)=25
∴ f(-1)=(25-79/23)/5=496/115. … (f)
(d),(e),(f)から、
f(0)=79/23, f(1)=136/23, f(-1)=496/115. … (Ans.)
(2)
f(x)の次数をnとすれば、(*)の左辺の次数は2n、右辺の次数はn+3である。(*)は、恒等式だから、
2n=n+3
∴ n=3. … (Ans.)
(3)
(2)より、f(x)は3次式だから、
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d … (g) (ただし、a≠0)
とおくことができる。(1)より、
f(0)=d=79/23, … (h)
f(1)=a+b+c+d=136/23, … (i)
f(-1)=-a+b-c+d=496/115. … (j)
(i)+(j)より、
2b+2d=136/23+496/115
∴ b+d=(136/23+496/115)/2=588/115. … (k)
(k)に(h)を代入して、
b+79/23=588/115
∴ b=588/115-79/23=193/115. … (l)
(h),(l)を(i)に代入して、
a+193/115+c+79/23=136/23
∴ c=92/115-a. … (m)
(h),(l),(m)を(g)に代入して、
f(x)=ax^3+193/115x^2+(92/115-a)x+79/23. … (n)
(*)に(n)を代入して、
a(x^2-1)^3+193/115(x^2-1)^2+(92/115-a)(x^2-1)+79/23-5{ax^3+193/115x^2+(92/115-a)x+79/23}=(x^3+1){a(x-1)^3+193/115(x-1)^2+(92/115-a)(x-1)+79/23}-2(x-1){a(x+1)^3+193/115(x+1)^2+(92/115-a)(x+1)+79/23}-4x-29 … (**)
(**)を計算して係数を比較すれば、aが求まるはずです。
この回答への補足
大変申し訳ございません・・・f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29の式ですが、一番先頭にxを記入するのを忘れていました!わざわざ計算していただいたのですが本当にすいません・・・なので訂正後の式はfx(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29でした・・・本当に申し訳ございません・・・。
補足日時:2002/09/22 06:19No.3
- 回答日時:
>f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29と同じことです!
補足ありがとうございます.
ただ,困ったことに, 式がこの通りとすると,
x=0 とおいて整理すると, 5f(0)+2f(1)=29・・・(1)
x=1 とおいて整理すると, f(0)+5f(1)=33・・・(2)
x=-1 とおいて整理すると, 3f(0)+5f(-1)=25・・・(3)
(1),(2)より, f(0)=79/23, f(1)=136/23 となり, この辺でもう雲行きがおかしい気がします. (こんな半端な値の問題はまず見たことがないので.)
このままいくと, f(-1)=338/115 ??
ここまでで計算ミス等おかしいところがあったらご指摘ください.
というわけで, 問題のミスプリ等が疑われるし, もし結果が一部でもわかっていれば, お教えくださると, 推測のしようもあるのですが...
出典はどういう類(問題集, 手書きプリント, その他)の問題なのでしょうか.
大まかな方針は先に述べたとおりで普通は大丈夫なはずですが, どうもこのまま解こうとしてもあまり意味はなさそうです.
この回答への補足
oshiete_gooさん、すいません・・・。f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29の式ですが改めまして式のほうを確かめると、式の先頭にxを記入するのを忘れていました・・・。なので訂正後の式はfx(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29でした・・・。補足で「同じことです!」と書いてしまってすいませんでした・・・。
補足日時:2002/09/22 06:22No.2
- 回答日時:
#1の者です.
一部不正確なところがあったので, 補足と訂正です.
>(2)は最高次の項をax^n (a≠0)として,
こうおいたので,n=0 としても 常にf(x)=0 の場合は表せないので,
(2)の一番最初に,『常にf(x)=0とすると 0=-4x-29 となり,恒等式にならないので不適.よって f(x)は恒等的には0でない.』
という部分をつけ加えて,
>また, n=0 (f(x)=定数)のとき, 左辺は定数で, 右辺はf(x)が0なら1次, 0でない定数でも3次で,両辺の次数が一致せず, 矛盾. よってn≠0 [などと考察.]
この部分は,
『また, n=0 (f(x)=定数≠0)のとき, 左辺は定数で, 右辺は3次で,両辺の次数が一致せず, 矛盾. よってn≠0 [などと考察.] 』
と訂正いたします.
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