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D={(x,y)|x^2+y^2<=1}における関数 f(x,y)=ax+y+(1-x^2-y^2)^(1/2) の最大値と最小値を求めよ。a は実数である。

分かる方、ラグランジュの未定乗数法を用いた解法を教えてください。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

1. R²における停留点(最大最小の候補)


 fx=a-x/√(1-x²-y²) , fy=1-y/√(1-x²-y²)
fx=fy=0 は
 x=±|a|/√(2+a²) , y=±1/√(2+a²)・・・・複合任意
さらに
 |x|,|y|<1
であり、Dの内部にある。

これが極値であるか否かはさらに検討が必要だが、面倒である。
求める者は最大最小なので、残りの境界の最大最小との比較を
して、最大最最小を選べば検討する必要が無い。

すると、ここで求めた停留点の値は
 f(±|a|/√(2+a²) , ±1/√(2+a²))
  =±a|a|/√(2+a²)±1/√(2+a²)+1/√(2+a²)
だから
 max: a²/√(2+a²)+2/√(2+a²)=√(2+a²)
 min: -a²/√(2+a²)+0=-a²/√(2+a²)・・・・・・・・・・①

2. 境界の最大最小
ラグランジュを使うまでもなく
 f=ax+y+0=ax±√(1-x²)
となる。この停留点は
 x=±|a|/√(1+a²), y=±1/√(1+a²)・・・・複合任意
となる。

このとき
 f(±|a|/√(1+a²), ±1/√(1+a²)
   =±a|a|/√(1+a²)±1/√(1+a²)+0
だから
 max: a²/√(1+a²)+1/√(1+a²)=√(1+a²)
 min: -a²/√(1+a²)-1/√(1+a²)=-√(1+a²)・・・・・②
また、端点の値は
 f(x=0)=±1, f(x=±1)=±a
なので②を比較すると
 max: a²/√(1+a²)+1/√(1+a²)=√(1+a²)
 min: -a²/√(1+a²)-1/√(1+a²)=-√(1+a²)・・・・・・③
となる。

これと①と比較すると最大は①が自明で、最小は①③を比較
して
 -a²/√(1+a²)-{-√(2+a²)}>-a²/√(1+a²)+√(1+a²)
    =(-a²+1+a²)/√(1+a²)
    =1/√(1+a²)>0
となる。すなわち、最小は③の
 -√(1+a²)
となる。

3.
まとめると
 max: √(2+a²)
 min: -√(1+a²)
となる。
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最大値の決勝を考えよう。



更に r = sinφ で置換すれば、φ は
0 ≦ r ≦ 1 より 0 ≦ φ ≦ π/2 の範囲にとれて、

f(x,y) ≦ √(a^2+1) r + √(1-r^2) ;等合は θ+α=π/2 のとき
   = √(a^2+1) sinφ + cosφ
   = √(a^2+2) sin(φ+β).
ただし (cosβ, sinβ) = (√(a^2+1)/√(a^2+2), 1/√(a^2+2)) と置いた。

φ の変域は β ≦ φ+β ≦ β+π/2 だが
tanβ = 1/√(a^2+1) < 1 より 0 < β < π/4 なので、
f(x,y) ≦ √(a^2+2) sin(φ+β)
   ≦ √(a^2+2) ;等合は φ+β=π/2 のとき.
ここのくだりは、sin のグラフを描いて考えるといい。

以上より、f(x,y) の最大値は
max f(x,y) = √(a^2+2) で、これは
θ+α=π/2, φ+β=π/2 のとき、すなわち
(x, y) = (a/√(a^2+2), 1/√(a^2+2)) のとき起こる。


最小値の決勝も同様に...

f(x,y) ≧ - √(a^2+1) r + √(1-r^2) ;等合は θ+α=-π/2 のとき
   = - √(a^2+1) sinφ + cosφ
   = √(a^2+2) sin(β-φ).
ただし βは上記と同じとする。

β-π/2 ≦ β-φ ≦ β かつ 0 < β < π/4 なので、
f(x,y) ≧ √(a^2+2) sin(β-φ)
   ≧ √(a^2+2) sin(β-π/2) ;等合は β-φ=β-π/2 のとき
   = - √(a^2+2) cosβ
   = - √(a^2+1).
ここのくだりも、sin のグラフを描いて考えるといい。

以上より、f(x,y) の最小値は
min f(x,y) = - √(a^2+1) で、これは
θ+α=-π/2, β-φ=β-π/2 のとき、すなわち
(x,y) = (-a/√(a^2+1), -1/√(a^2+1)) のとき起こる。

予選決勝をしているうちに、初等的に最大最小が求まってしまったので、
未定乗数法は結果的に使わなかった。
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ラグランジュ未定乗数法は、


等式で表された拘束条件がある場合の最大最小の求め方。
今回の問題は、条件が不等式で与えられているので、予選を行って
最大値最小値の候補点となる点を等式の条件に絞らなければ使えない。
予選決勝で考えてみよう。

極座標変換 (x,y) = (r cosθ, r sinθ) を施すと、
f(x,y) = ax + y + √(1 - x^2 - y^2)
   = √(a^2 + 1) r sin(θ+α) + √(1 - r^2),
ただし、(cosα, sinα) = (1/√(a^2+1), a/√(a^2+1)).
となる。
D = { (r cosθ, r sinθ) | 0≦r≦1, θは実数 } の範囲で
最大最小を考える。

まず r を固定して θ を動かせば、
-1 ≦ sin(θ+α) ≦ 1 より
- √(a^2+1) r + √(1-r^2) ≦ f(x,y) ≦ √(a^2+1) r + √(1-r^2).
これが予選である。
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