
二次関数の問題
実数a,bに対して、f(x)=a(x-b)^2とおく。ただし、aは正とする。
放物線y=f(x)が直線y=-4x+4に接している。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)0≦x≦2において、f(x)の最大値M(a)と、最小値m(a)を求めよ。
(1)は、a(x-b)^2=-4x+4と置き、整理してから判別式D=0で解いて
b=a+1/aであっていますか?
また(2)はどのように考えるのでしょうか?
やはり(1)を使うのでしょうか?
またこの問題は「東京工業大学」の入試問題らしいのですが、
二次関数y=3/4x^2-3x+4の区間a≦x≦b(0<a<b)における値域が区間a≦y≦bであるという。aとbを求めよ。
これの考え方がわかりません。
とりあえず平方完成して軸(x=2)と頂点の座標(2,1)はだしたのですが、ここからのやりかたがわかりません。。
区間が文字だから場合分けとか思い浮かぶんですが・・・
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
>b=(a+1)/aであっていますか?
合っています。分子には( )をつけて下さい。
(2)
>やはり(1)を使うのでしょうか?
使います。
>0≦x≦2において
M(a)=f(0)=a(0-(a+1)/a)^2={(a+1)^2}/a=2+a+(1/a)
m(a)=f(2)=a(2-(a+1)/a)^2={(a-1)^2}/a=-2+a+(1/a)
>問題は「東京工業大学」の入試問題
>y=(3/4)x^2-3x+4=(3/4)(x-2)^2 +1
=f(x)とおく。
f(a)=(3/4)(a-2)^2 +1
f(b)=(3/4)(b-2)^2 +1
ここで軸(x=2)とx=a,x=bの位置関係で場合わけすればいい。
a<b<=2の時 f(b)<=y<=f(a)
f(b)=a,f(a)=b
a<=2<b,2-a<b-2の時 f(2)=1<=y<=f(b)
a=1,f(b)=b
a<=2<b,2-a>b-2の時 f(2)=1<=y<=f(a)
a=1,f(a)=b
2<=a<bの時 f(a)<=y<=f(b)
f(a)=a,f(b)=b
各場合について a,bを求めれば良いでしょう。
No.5
- 回答日時:
>またこの問題は「東京工業大学」の入試問題らしいのですが、
>区間が文字だから場合分けとか思い浮かぶんですが・・・
浮かんだだけでは、進まない。実際に手を動かしてみろよ、単なる計算問題だから。
f(x)=3/4x^2-3x+4 とする。
(1) 2≧b (2) a≧2 (3) (a+b)/2≦2≦b (4) a≦2≦(a+b) の4つの場合わけ。
ちなみに、(1)では b=f(a)、a=f(b)として、連立方程式を解くだけ。和と差を作ればいいだろう。
続きは、自分でやって。
No.3
- 回答日時:
(1)
a(x-b)^2=4x+4.
放物線と直線が接している⇒これが重解をもつ⇒判別式=0。
(ab+2)^2-a^2b^2+4a=0.
4ab+4-4a=0.
b=1-1/a.
(2)
a>0⇒1-1/a<1.
f(x)=a(x-1+1/a)^2.
0≦1-1/a<1⇒最小値はf(1-1/a)=0.
1-1/a≦0⇒最小値はf(0)=a(1-1/a)^2.
最大値はf(2)=a(1+1/a)^2.
値域の右端=最大値、地域の左端=最小値。
最小値はaかbか頂点でとる。
最大値はaかbでとる。
y=f(x)=3/4(x-2)^2+1.
0<a<b≦2のとき、最大値はaで、最小値はbでとる。
f(a)=b,f(b)=aをみたす0<a<b≦2があるか?
0<a≦2<bのとき、最大値はaまたはbで、最小値は2でとる。
f(2)=a⇒a=1.これはダメ。
2<a<bのとき、最大値はbで、最小値はaでとる。
f(b)=b,f(a)=(a)をみたす2<a<bがあるか?
No.2
- 回答日時:
こんにちわ。
>b=a+1/aであっていますか?
微妙に、違っているように思われます。
もう一度、計算をやり直してみてください。
>また(2)はどのように考えるのでしょうか?
>やはり(1)を使うのでしょうか?
はい、(1)は使いますね。
小問題に入る前に書かれている内容(条件)なので、すべての小問題でこの条件はあるものとして扱います。
2次関数の xの範囲(定義域)と最大・最小(値域)の問題は、考えているように「軸」がキーになります。
xの範囲と軸との位置関係によって、最大・最小は変わりますね。
軸が別の変数だったり、xの範囲が別の変数だったりと形は違っていますが、考え方は同じです。
軸が「左」「真ん中」「右」でどのように変わるかを考えてみてください。
No.1
- 回答日時:
(1) やり方はあってる. 結果は確かめてないので知らない.
(2) (1) の結果を使わないと b が消えてくれないので使うのは当然. あとは b と考えている範囲との関係をみる.
最後の奴は, グラフを描いちゃうのが速いんじゃないかな.
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