最大の定理、最小の定理の証明

最大の定理「a+b=k　の時、abは　a=b=k/2　の時に最大値をとる」
最小の定理「ab=k　の時、a+bは　a=b=√k　の時に最小値をとる」

の証明の仕方もしくは、しているサイトを教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/12/22 17:25

（１）最大の定理

a+b=k　ということは、b=k-a です。
従って
　　ab = a (k-a) =-a^2 + ka
　　　 = -( a^2 - ka + k^2/4 ) + k^2/4
　　　 = -( a - k/2 )^2 + k^2/4　　　　（１）

これは、グラフに描けば上に凸の放物線で、
　　 ( a - k/2 )^2 ≧ 0
なので、この項が一番小さくなるのが a=k/2 のときで、ゼロです。

つまり、（１）より、ab は、 a=k/2 のとき、最大値
　　ab = k^2/4
になります。a=k/2 なので、
　　b = k/2
になります。

これは、微分を使えば、
　　y(a) = -a^2 + ka
とおいて、
　　y' = -2a + k = 0
より、極値をとるのは
　　a = k/2
のときで、
　　y'' = -2 <0
より、このとき y は最大値となります。

（２）最小の定理
同様に、ab=k ということは、b=k/a ですから
　　a + b = a + k/a = y(a)
これが極大、極小になるのは、y'=0 のときなので
　　y' = 1 - k/a^2 = 0
より、k>0 で a = ±√k のときです。
（k<0 のときには極値をとる a は存在しない）

このとき、
　　y'' = 2k/a^3
なので、a>0 のとき y は最小値、a<0 のとき y は最大値をとります。

つまり、k>0 のとき
　a=b= √k のとき y は最小値 2√k をとる
　a=b= -√k のとき y は最大値 -2√k をとる
ということです。

ご質問文には、a>0, b>0, k>0 という条件を付けなければ
「ab=k　の時、a+bは　a=b=√k　の時に最小値をとる」
は成立しませんね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/01/13 16:16

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/24 00:23

ラグランジュの未定乗数法でとくのがー番エレガントでしょうね。

問題の対称性を保ったまま解くことができます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/01/13 16:16

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/12/22 18:13

条件が抜けています。

a≧0、b≧0です。


相加平均は相乗平均以下であるという次の恒等式を用います。

a+b≧2√ab (1)

つまり

「最大の定理」

√ab≦(a+b)/2=k/2
abの最大値は(k/2)^2で最大値はa=bのとき

「最小の定理」

a+b≧2√ab=2√k
a+bの最小値は2√kで最小値はa=bのとき


(別解）2次方程式の実解条件を用いても解けます。

a,bを解とする2次方程式は

t^2-(a+b)t+ab=0　　　　　（2）

a,bが実数であるためには判別式D≧0

D=(a+b)^2-4ab≧0　　　　　（3）

これより

a+b≧2√ab

つまり（1）が示された。ここから相加相乗の話に持ち込んでもよい。

直接的には

「最大の定理」

a+b=k　の時、(2)は

t^2-ｋt+ab=0　

D=k^2-4ab≧0　 ⇒　ab≦k^2/4

a=b=k/2　の時に最大値k^2/4をとる

「最小の定理」

ab=k　の時、(2)は

t^2-(a+b)t+ｋ=0

D=(a+b)^2-4k≧0　 ⇒　a+b≧2√k

a+bは　a=b=√k　の時に最小値2√kをとる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/01/13 16:16