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最大の定理「a+b=k の時、abは a=b=k/2 の時に最大値をとる」
最小の定理「ab=k の時、a+bは a=b=√k の時に最小値をとる」

の証明の仕方もしくは、しているサイトを教えてください。

A 回答 (3件)

(1)最大の定理


a+b=k ということは、b=k-a です。
従って
  ab = a (k-a) =-a^2 + ka
    = -( a^2 - ka + k^2/4 ) + k^2/4
    = -( a - k/2 )^2 + k^2/4    (1)

これは、グラフに描けば上に凸の放物線で、
   ( a - k/2 )^2 ≧ 0
なので、この項が一番小さくなるのが a=k/2 のときで、ゼロです。

つまり、(1)より、ab は、 a=k/2 のとき、最大値
  ab = k^2/4
になります。a=k/2 なので、
  b = k/2
になります。

これは、微分を使えば、
  y(a) = -a^2 + ka
とおいて、
  y' = -2a + k = 0
より、極値をとるのは
  a = k/2
のときで、
  y'' = -2 <0
より、このとき y は最大値となります。

(2)最小の定理
同様に、ab=k ということは、b=k/a ですから
  a + b = a + k/a = y(a)
これが極大、極小になるのは、y'=0 のときなので
  y' = 1 - k/a^2 = 0
より、k>0 で a = ±√k のときです。
(k<0 のときには極値をとる a は存在しない)

このとき、
  y'' = 2k/a^3
なので、a>0 のとき y は最小値、a<0 のとき y は最大値をとります。

つまり、k>0 のとき
 a=b= √k のとき y は最小値 2√k をとる
 a=b= -√k のとき y は最大値 -2√k をとる
ということです。

ご質問文には、a>0, b>0, k>0 という条件を付けなければ
「ab=k の時、a+bは a=b=√k の時に最小値をとる」
は成立しませんね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2016/01/13 16:16

ラグランジュの未定乗数法でとくのがー番エレガントでしょうね。


問題の対称性を保ったまま解くことができます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2016/01/13 16:16

条件が抜けています。

a≧0、b≧0です。


相加平均は相乗平均以下であるという次の恒等式を用います。

a+b≧2√ab (1)

つまり

「最大の定理」

√ab≦(a+b)/2=k/2
abの最大値は(k/2)^2で最大値はa=bのとき

「最小の定理」

a+b≧2√ab=2√k
a+bの最小値は2√kで最小値はa=bのとき


(別解)2次方程式の実解条件を用いても解けます。

a,bを解とする2次方程式は

t^2-(a+b)t+ab=0     (2)

a,bが実数であるためには判別式D≧0

D=(a+b)^2-4ab≧0     (3)

これより

a+b≧2√ab

つまり(1)が示された。ここから相加相乗の話に持ち込んでもよい。

直接的には

「最大の定理」

a+b=k の時、(2)は

t^2-kt+ab=0 

D=k^2-4ab≧0  ⇒ ab≦k^2/4

a=b=k/2 の時に最大値k^2/4をとる

「最小の定理」

ab=k の時、(2)は

t^2-(a+b)t+k=0

D=(a+b)^2-4k≧0  ⇒ a+b≧2√k

a+bは a=b=√k の時に最小値2√kをとる
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2016/01/13 16:16

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