x(x-1)(x-2)(x-3)の最大値と最小値を求めよ。 ただし、(-2<=x<=5) の解き方を

x(x-1)(x-2)(x-3)の最大値と最小値を求めよ。
ただし、(-2<=x<=5)

の解き方を教えていただきたいです。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 16:29

-2≦x≦5

f(x)
=x(x-1)(x-2)(x-3)
=(x^2-3x)(x^2-3x+2)
=(x^2-3x+1-1)(x^2-3x+1+1)
=(x^2-3x+1)^2-1
={(x-3/2)^2-5/4}^2-1
=({x-(3-√5)/2}{x-(3+√5)/2})^2-1
≧-1

だから
x=(3±√5)/2
で
最小値は
-1

f(3/2)=25/16-1=9/16
f(-2)=-2(-3)(-4)(-5)=120
f(5)=120
だから
最大値はf(-2)=f(5)=
120

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/19 14:25

f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3) とすると、

x=0, 1, 2, 3 で f(x)=0 となります。
f(x) を展開すると x⁴ の係数は 正 ですから、
y=(x) のグラフは 第2象限の上から 減少関数で x=0 で x軸と交わり、
x=1/2, 5/2 で 極小値、x=3/2 で 極大値を取る 左右対称なグラフです。
従って、-2≦x≦5 では 最大値は f(-2)=f(5)=120 。
最小値は 極小値と同じ f(1/2)=f(5/2)=-(15/16) 。

導関数を使うより 計算が楽。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/19 05:28

訂正

間違いでした。-2≦x≦5 という条件がありました。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/19 05:17

やらかし達だが、面白かったので。

x → ±∞で、与式 → ∞ だから、最大値は無く、極大値が１つと
最小値が２つ。

f'=0 となるのは
　x=3/2 , x=(3±√5)/2
となり、これらが、極大・最小のxとなる。しかし、値を求める計算
が面倒そう。

そこで、xを3/2だけずらしても、値は変わらない。すると
　f=(x+3/2)(x+1/2)(x-1/2)(x-3/2)=(x²-9/4)(x²-1/4)
となり、f'=0の点は
　x=0, x=±(√5)/2
となる。

すると、それぞれ
　f(0)=(9/4)(1/4)=9/16・・・・・極大値
　f(±(√5)/2)=(5/4-9/4)(5/4-1/4)=(-4/4)(4/4)=-1・・・最小値

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/19 02:39

微分なしでできんだけどね。

x(x-1)(x-2)(x-3) = (x(x-3))((x-1)(x-2))
　　　　　　　=(x^2-3x)(x^2-3x+2)
だから、u = x^2 - 3x, y = u(u + 2) と置いて
二次関数の最大最小を2回やればいい。

-2 ≦ x ≦ 5, u = x^2 - 3x の値域は、
u = (x - 3/2)^2 - 9/4 から二次関数のグラフを考えて
-9/4 ≦ u ≦ 10.

-9/4 ≦ u ≦ 10, y = u(u + 2) の値域は、
y = (u + 1)^2 - 1 から二次関数のグラフを考えて
-1 ≦ y ≦ 120.

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/18 23:14

ちなみに、4次関数のグラフの概形は

W字型
になることを押さえておくと
微分する前から　答えの見当がつくことでしょう・・・

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/18 23:11

最小値もあった・・・

こちょらも増減表から調べられます

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/18 23:09

f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x^2-3x)(x^2-3x+2)

などと展開して微分すると
f'(x)=(x^2-3x)'(x^2-3x+2)＋(x^2-3x)(x^2-3x+2)'
=(2x-3)(x^2-3x+2)＋(x^2-3x)(2x-3)
=(2x-3)(2x^2-6x+2)
f'(x)=0となるxを求める
増減表を書く
極大はx=3/2と分かる
このことから、該当の区間では
x=-2かx=5のグラフの端点
または極大値が最大の可能性があるので
どれが最大か調べて応えます