「教えて!ピックアップ」リリース!

上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか
なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません
これらはどのように使い分ければよいのでしょうか
明確な定義などはあるのでしょうか

A 回答 (4件)

>明確な定義などはあるのでしょうか



うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x かつ、 xはAに含まれる(xはAの元である)
 つまり、Aの元の中で一番大きいヤツです。当然1個しかありません。
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、最大値がないときがあります。実数の世界で、A={x;xは実数 かつ x<1} なんてとき、Aに最大値はありませんね。
 自然数や整数の世界では上界があるなら最大値があります。

・xがAの上限 ⇔ xはAの上界の最小値
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、上限がないときがあります。有理数の世界で、A={x;xは有理数 かつ x^2<2} なんてとき、Aに上限はありません。
 実数の世界では上界があるなら上限があります。

この回答への補足

> 後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。

この辺りを見ました。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9% …
http://ja.wikipedia.org/wiki/P%E2%89%A0NP%E4%BA% …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3% …

補足日時:2014/01/01 19:24
    • good
    • 4
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2014/05/18 12:19

例えば、


A={x∈R|a≦x≦b}
としたとき、
Aの最大値max(A)=b
Aの上界とは、
任意のx∈Aに対してある数c∈Rが存在して 
x≦c
を満たすc∈Rを指すので、この場合b以上のすべての実数が上界となります。
Aの上限とは、Aの上界の中の最小値なので、上の場合
c=b
が上界となります。つまりAの上界sup(A)=b

お分かりいただけたでしょうか?


ちなみに、
B={x∈R|a≦x<b}
のときも、sup(B)=bですが、max(B)は存在しません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2014/05/18 12:19

訂正:


 最大値とか上限とか、さっきの例だと「1」ではなく、「0」ですね。なに考えているんだか。



>明確な定義などはあるのでしょうか
そりゃあるでしょ。

最大値:取りえる値の中で一番大きい値。
上界 :取りえる値は、どれも上界以下。上界より大きい値はとらない。
    f(x)≦A ならAは上界(の、ひとつ)
上限 :簡単にいえば上界の最小値。
    めんどくさくいうと、取りえる値は、どれも上限以下でかつ、上限より大きいちょっとでも小さい値より大きい値をとることがある。
    f(x)≦B でしかも、ほんのちょっとの正のεでも、B-ε<f(x)となるxがあるときBが上限。

--
実数の世界で考えているとき、
最大値があれば、それ以上の数はすべて上界。
最大値があれば、それは上限。
上界があれば、上限がある。(有理数の世界ではそうとは限らない。例:{√2以下の有理数})
上界がなければ最大値も上限もない。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2014/05/18 12:19

f(x)=1-1/x を 定義域(0,1)で考える。




この範囲でf(x)の最大値は「なし」

上限は、1

上界は、1以上の数はなんでも。1も上界、2も上界、3も上界、100も上界。


最大値は、その値をとるその瞬間が実在しなきゃいけない。

上限は、その範囲での最大値っぽいけど、その瞬間がなくてもよい。

上界は、「上限は、せいぜいこれよりは小さいぜっ」ってな感じの適当な値。




f(x)=1-1/x を定義域[0,1]で考えると、

この範囲でf(x)の最大値は1。
上限も1。
上界は、1以上の数はなんでも。1も上界、2も上界、3も上界、1000も上界。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2014/05/18 12:19

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング