sup()とmax()の違い

関数の上界値supと最大値maxの違いがわかりません。
例としてf(x)=-e^x,(定義域実数全体)とかは上界値で考えるのはなんとなくわかるのですが…それ以外で使い分けるようなことってありますか?「この関数なら意味はほぼ同じじゃん!」という問題にぶち当たっているので…お願いします。

No.1 回答者： adinat 回答日時： 2004/10/30 17:30

supは上限です。

最小の上界ともいいます。その定義から現実にはsupは達成されるとは限りません。一方最大値の方は必ず達成されます。

簡単な例ですが、(0,1)上で関数y=xを考えてみます。明らかに上限は1ですが、じゃあyが1になるようなxはあるのか？と問われるとこれはないと言わざるを得ません。1にいくらでも近くは取れるのですが。というわけでこの場合、最大値は「ない」わけです。ちなみに最大値が存在すれば、それはいつでも上限と一致します。だけどこの例からも分かるようにsupはいつでもあるのですが、maxが存在するとは限らないのです。

この回答への補足

そうなのですが、ではあえてsupと記述してある参考書の関数には必ずmaxが存在してないのでしょうか?あえてsupと書く理由がわからないので…
最適化問題のラグランジュ関数なのですが…
min f(x)
s.t g(x)<=0　　の問題のラグランジュ
L(x,λ)=f(x)+λg(x)　λ>=0の時の
sup(L(x,λ))を考えたいのですが、これはmaxと書けばいいじゃんと思ってしまうのです…

補足日時：2004/10/30 18:32

No.2 回答者： weredragon 回答日時： 2004/10/30 18:12

平たく言うと、「max は集合の中にその値をとる

元が存在していなくてはいけないが、supはそうとも
限らない」です。
たとえば、区間[0,1) を考えてみると、
max は存在しない。0.999999・・・・なので。
一方のsup は1です。

No.3 回答者： jmh 回答日時： 2004/10/31 19:23

> あえてｓｕｐ

>
逆ではなくって？

No.4 ベストアンサー 回答者： motchandesu 回答日時： 2004/11/01 02:01

supと書く(supを使う)のは

maxは必ずしも存在するとは限らないからです。

数学では存在するかどうかわからないものを使うということはありえません。厳密さが数学を支えているからです。（仮定として使うことはありますが。）

数学を勉強していけば、supを求めるときに、じつはmaxが存在して、その値に等しいから、sup＝max＝ある値　というような使い方がよく出てきます。

この回答へのお礼

なるほど。では教科書はまだ最大値があるかわからない状態だからsupと表していたんですね。よくわかりました。

お礼日時：2004/11/02 17:21