逆関数

ｆ：Ｘ→Ｙ　の逆関数ｆ^(-1)の定義域は何ですか？
『ｘとｙを入れ替えたもの』を『逆関数』と呼ぶのですか？

『入れ替えて定義する』と書いてある本と、
『通常入れ替えて表すことが多いが入れ替える必要はない』と書いてある本があり、本来逆関数とは何を指しているのかが分からなくなってしまいました。。

【f(x)の逆関数は f^(-1)(x)（すなわち最終的にｘとｙを入れ替えたもの）】
この認識で合っていますか？基礎なのにごめんなさい、、、

質問者からの補足コメント

• 

  一応具体例も見ておきたいです。
  
  (ex)
  y＝(1/3)x の逆関数は、
  y＝3x ですか？ x＝3yですか？

    補足日時：2022/10/19 16:35

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/19 17:03

y＝(1/3)x の y を従属変数と考えると、

y に逆関数はありません。 y は変数であって関数じゃないので。
y を関数名と考えて、 y(x) = (1/3)x と解釈すると、
逆関数は y^-1(x) = 3x です。 y＝3x でも x＝3y でもありません。
y = f(x) = (1/3)x の f の逆関数 f^-1 の話であれば、それを
f^-1(x) = 3x と書いても f^-1(y) = 3y と書いても f^-1(u) = 3u と書いても
f^-1 は同じ関数として書かれているので、どれでもかまいません。
引数を x で書くか y で書くかは、 f^-1 がどんな関数であるかとは関係ありません。
y = f(x) の x と y を入れ替えた x = f(y) を等式変形して
y = g(x) という式を得れば、 f^-1 = g である... というのは、
g を求めるための小手先の技法に過ぎず、それが「逆関数」の定義ではないのです。

あと、ちなみに...
逆関数 ｆ^-1 の定義域は、 f：X→Y の定義域を D として f(D) です。
Y は、 f の終了域であって定義域ではないから、 f^-1 の定義域ではありません。

この回答へのお礼

すぐに読ませていただいたのですが、時間が足りず返信を書くのが遅くなってしまいました、、申し訳ございません(´；ω；｀)

本当に凄く分かりやすかったです……！！助かりました！！！！いつもありがとうございます！！

お礼日時：2022/10/30 10:13

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/20 16:19

X={x|x≠-1}

Y={y|y≠0}

f:X→Y
x∈X→f(x)=1/(x+1)
と
fを定義すると
fの逆関数f^(-1)は
f^(-1):Y→X
y∈Y→f^(-1)(y)=(1/y)-1
となる

x∈Y→f^(-1)(x)=(1/x)-1
と
してもよいけれども

f:X→Y
x∈X→f(x)=1/(x+1)
の
定義域はX={x|x≠-1}

f^(-1):Y→X
x∈Y→f^(-1)(x)=(1/x)-1
の
定義域はY={x|x≠0}

X={x|x≠-1}≠{x|x≠0}=Y

fとf^(-1)の定義域は違うのです

この回答へのお礼

遅くなってしまい申し訳ございません…！
お陰様で理解出来ました、本当にありがとうございました(´；ω；｀)！！

お礼日時：2022/10/30 10:18

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/20 11:11

xに対してy=(1/3)xを対応させる

関数f
x→y=f(x)=(1/3)x
の逆関数f^(-1)は

y→x=f^(-1)(y)=3y
x→y=f^(-1)(x)=3x

のどちらでもよい

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/19 21:02

高校の数学では、逆関数は x と y を入れ替えたもの。

グラフにすると 直線 y=x に対して 対称になる と云う事では。
つまり y=(1/3)x の逆関数は x=(1/3)y → y=3x と思います。

この回答へのお礼

遅くなってしまい申し訳ございません(´；ω；｀)

一応大学生なんですよ(´；ω；｀)
今まで感覚で解いてしまっていたので写像など色々な表し方が出てくるようになって頭が混乱してしまいました…もっと頑張ります！

やはりy=(1/3)x の逆関数は x=(1/3)y → y=3xというイメージで良いのですね！ありがとうございました……！！

お礼日時：2022/10/30 10:15

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/19 17:54

すみません。

書き間違いです。
↓
Y は、 f の終了域であって値域ではないから、 f^-1 の定義域ではありません。