ほんとに何度もすみません。 どうか相手にしてください。 逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆に

ほんとに何度もすみません。
どうか相手にしてください。

逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆にしたものである」ということは定義ですか？(それとも逆関数に対してこの解釈は間違ってますか？)もし上記のことが正しいとすると、例えばy=2xについて考えたとき、この関数はxに1,2,3,4.という値を入力した際に出力される値は2,4,6.8であるということを表していて、x=2yというのはy=2xの出力と入力を入れ替えた
もの(だからxとyが入れ替わってる)よってy=2xで出力されたy=2,4,6,8というのをx=2yのxに入力すると、y=1,2,3,4という値が出力される」という解釈で良いでしょうか？
今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。x=2yはy=2xの逆関数ではない、すなわち一般的にx=f(y)はy=f(x)の逆関数ではないのでは？と思いました。しかし、y=f(x)とx=f(y)が同じ関数であるとすると、x=f(y)を整理したy=g(x)はy=f(x)の逆関数になるはずなのに、y=f(x)⇔x=f(y)⇔y=g(x)からy=g(x)がy=f(x)同じものを表していることになり、矛盾する気がします。
(繰り返しになりますが、)おそらくy=f(x)とx=f(y)は同値ではないはずですが、先ほど(y=2xの例で)述べたように、y=f(x)がb=f(a)を満たすときx=f(y)もb=f(a)を満たすことから、y=f(x)とx=f(y)が同じものに見えてきてしまいます。なぜ、y=f(x)の逆関数はx=f(y)となるのでしょうか？
度重なる質問ですみません。解説おねがいします

質問者からの補足コメント

• 皆さん回答ありがとうございます。
  自分の中でだんだんと整理がてきてきたのですが、
  y=f(x)を(a,b)が満たすときすなわちb=f(a)となりこの出力と入力を入れ替えたx=f(y)もb=f(a)を満たしますが、この2つは同値ではないですか？ただ入力と出力が対な関係であるだけですか？

    補足日時：2023/08/28 14:56

• 皆さん回答ありがとうございます。たくさんの丁寧なご回答をせっかく、送ってくださったのに、僕の理解力がなく、この質問をうまく自分の中で消化することができませんでした。本当に申し訳ありません。しかし前よりはイメージというか、何となく掴めてきたので、また整理がついたらよりわからないところを具体的にして質問させていただこうと思います。

    補足日時：2023/08/29 18:08

No.16 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/29 16:09

＞①x=f(y)というのはy=f(x)の入出力を入れ替えたものですか？

不正解　No13の様に入出力を入れ替えることが無意味な
　f: X（生徒の学籍番号の集合）　→　Ｙ（算数の成績の集合）
を考えてみましょうよ。関係式　x=f(y)　は無意味ですよ。
また今の段階では、y=f(x)は「xとｙとの関係式」であって「関数ではない」との理解してください。
以下x∈Ｘ，y∈Yとするとき
関数は　f: x∈Ｘ → y=f(x) ∈Yですよ。

＞②y=f(x)をx=a,y=bが満たすとき、x=f(y)はx=b,y=aが当てはまりますか？
不正解　関係式　x=f(y)　は（x∈Ｘ，y∈Y、関数f: x∈Ｘ → y=f(x) ∈Yにおいて）無意味です。

＞③(①が合っているとして…)y=f(x)の入出力を入れ替えたものはx=f(y)と表せて、これを同値変形したy=g(x)はy=f(x)の逆関数である。
不正解　y=g(x)は関数ではなく「関係式」ですね。
関数は、g: y∈Y → x=g(y)∈Ｘ　ですよ

＜おまけ＞
逆関数の定義では、
逆関数は(存在するとしたら) g: y∈Y → x∈Ｘ st y=f(x)を満たすようなx
ですので、もし
「y=f(x)を満たすようなx∈Ｘ」を、「g(y)∈Ｘ」と書けるならば
関数g: y∈Y → x=g(y)∈Ｘは、関数f: x∈Ｘ → y=f(x)∈Y　の逆関数です。

No.15 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/29 10:39

>xとyを変換したということは、

xもyも同じ数の空間だから「変換できる」という考えになっちゃうんだね

だから、No13の様に　f: X（生徒の学籍番号の集合）　→　Ｙ（算数の成績の集合）を考えてみましょうよ

　x∈X、y∈Yに対し、y=f(x) が定義できる
しかし、xとyを変換した y∈X、x∈Yならば、y=f(x) はナンセンス
です。つまり、xとyを変換することはできないということ。

もちろん、xとyを変換した y∈X、x∈Yに対し　x=f(y)
は意味がありますが、単に変数名x,yを交換しただけですので、
　変換前のy=f(x)の変数xと交換したx=f(y)のｘは全く無関係
ですね

この回答へのお礼

何度もすみません。自分がどこまで理解しているのかを明確にしたいので、箇条書きでそれぞれ書くので、よろしければ回答おねがいします。

①x=f(y)というのはy=f(x)の入出力を入れ替えたものですか？
②y=f(x)をx=a,y=bが満たすとき、x=f(y)はx=b,y=aが当てはまりますか？
③(①が合っているとして…)y=f(x)の入出力を入れ替えたものはx=f(y)と表せて、これを同値変形したy=g(x)はy=f(x)の逆関数である。

お礼日時：2023/08/29 10:50

No.14 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/29 07:13

>「y=パンの個数、x=総額とy=f(x)の入出力を入れ替える」という条件をつければ、y=f(x)⇔x=f(y)が成り立つのでは？

「y=パンの個数、x=総額とy=f(x)の入出力を入れ替える」と前半の「y=f(x)」の部分は　「100=f(2000)」という等式になり（No13の例での　f(98) のように）無意味（単なる数遊び）になりますね。

この回答へのお礼

なぜ、100=f(2000)というように表されるのですか？xとyを変換したということは、(100,2000)という関係が(2000,100)になることから、x=f(y)のときも、結局2000=f(100)となるのではないでしょうか？

お礼日時：2023/08/29 08:59

No.13 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/28 17:14

補足読みました

関数　x→y : y=f(x) が、x,yともに同じ「数の世界」なところで混乱して問題を整理できないのかしら。
いっそのこと
　xを生徒の学籍番号、yを算数の成績
とした関数　x→y : y=f(x) を考えれば、
逆関数　y→x : x=g(y) の定義・意味がわかるのでは？
（「同じ成績の人がいると、逆関数は定義できない」ことなども理解できると思います）

9204番さんの算数の成績９８点なら　f(9204)=98　ということです。
これを関係(a,b)とすると(9204,98)ということです。

そもそも、
　出力と入力を入れ替えたx=f(y)
はこの場合、どのような意味になるかじっくり考えてみたらいかがでしょう。

f(98)って？
学籍番号98番さんってそもそもいるの？
その成績が9204点？ありえないですよね

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
例えば、「.x個のパンを買ったときの値段yはf(x)で表される」ものとすると、y=f(x)が成り立ちます。もしパンを100個買ったときの値段が2000だとすると2000=f(100)と表されます。そして、このy=f(x)の入力出力を入れ替えたx=f(y)という式について考えたときパンと値段の関係は変わらないわけですから、2000=f(100)と表されることから、「y=パンの個数、x=総額とy=f(x)の入出力を入れ替える」という条件をつければ、y=f(x)⇔x=f(y)が成り立つのでは？と思いました。

お礼日時：2023/08/28 17:43

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 18:34

＞>論理式 y=f(x) ⇔ x=g(y)

＞このx=g(y)というのは、x=f(y)の間違いでしょうか？

いいや、間違いじゃないよ。
「g が f の逆関数である」というのと「y=f(x) ⇔ x=g(y)」が同じ内容。
「y=f(x) ⇔ x=f(y)」じゃあ、成立するのは f が恒等写像の場合だけだし、
f と g の関係を記述してないでしょう？

No.10 では、「y=f(x) ⇔ x=g(y)」から x=g(y) の部分だけを切り取って
g が関数だってことは普通 y=g(x) と書くものでしょ！と言ってみても、
その x=g(y) という式と y=g(x) という式の間には何の関係もなく
両式を比較することに意味は無い...って話をした。

No.11 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/27 17:39

No9です

＞y=(1/2)xはy=2xの逆関数ですが、
まずは、y=(1/2)x 、y=2x、ともに「関数」ではなく、「関係」と理解ください。
各関係から導かれる「関数」である
　関数　x→y : y=(1/2)x
は
　関数　x→y : y=2x
の逆関数です。関数と関係を同一視しても混乱が無い場合に限り、これらの関係式を「関数」とみなすことがあります。この同一視が今回の混乱の根源ですので、関数と関係は別物としてしっかり理解しましょう。

＞y=(1/2)xを整理する前のx=2yというのは、逆関数なのでしょうか？
y=(1/2)xを整理する前のx=2yも「関数」ではなく、「関係」と理解ください。
関係x=2yから導かれる「関数」である
　関数　x→y : x=2y
は定義できますが、一般には　「y= ... という形の関係式」でないので、関数と同一視することはありませんね。

＞(何を表しているのでしようか？)
この文脈での「x=2y」というのは「ｘとｙの関係」を表しています。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 13:28

前回の質問にも回答したが、そもそも

y=f(x) が関数だ...という発想が間違い。
(中学の教科書は、この間違いを誘導するように書かれているけど。)
関数なのは f であって、y=f(x) という式が関数なのではない。
この間違いをするから、y=f(x) の逆関数が y=g(x) って話になってしまうが、
正しくは「f の逆関数が g」でなくてはならない。

それが解っていれば、f の逆関数 g について
y=g(x) という式を作るのも
x=g(y) という式を作るのも
a=g(b) という式を作るのも全く自由だが、
g が f の逆関数であることを表現する論理式 y=f(x) ⇔ x=g(y) と
g が関数であることを y=g(x) と書くことが多いという慣習の間には
何の関係も無く、両者では文字 x,y の使い方が異なっている。
だから、x=g(y) と y=g(x) の式を同時に使うことには意味がない
...ということが解るはず。

この回答へのお礼

>論理式 y=f(x) ⇔ x=g(y) <
このx=g(y)というのは、x=f(y)の間違いでしょうか？

お礼日時：2023/08/27 18:07

No.9 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/27 08:05

Ｎｏ５です

＞ほんとに何度もすみません。
＞どうか相手にしてください。
ならば、えり好みせずに、すべての回答に対して何らかの応答をしたほうがよいですよ。

＞今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。
→　関係と関数を混乱されているのかしら？

(a,b) は関係です。入出力はありません。
一方、関数には入力変数と出力変数があります

（一般に「関数」が定義できない「関係」も、たくさんありますが、今回の「y=2xという関係」は関数が適宜できる「関係」の一つです）

例えばx を 「y=2xという関係」を満たすyに対応させるのが「関数y=2x」で、
等式 「y=2x」 が関数であることを明確にするため、No8さんの回答の通り、
「x→y=2x」
と記載して、問題を整理すれば質問者さんの混乱もなくなると思いますよ。

で、今問題にしている「関数y=2x」の逆関数とは、
y を 「y=2xという関係」を満たすxに対応させる関数
の事です。

入力変数をｘ、出力変数をｙとして文字変換して書き直すと
x を 「x=2yという関係」を満たすyに対応させる関数
の事ですね。
文字変換した「x=2yという関係」は、与えられた初めの「y=2xという関係」の
「出力と入力の関係式を逆にしたものである」
になっていますよね。それだけの話ですよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
y=(1/2)xはy=2xの逆関数ですが、y=(1/2)xを整理する前のx=2yというのは、逆関数なのでしょうか？(何を表しているのでしようか？)

お礼日時：2023/08/27 13:58

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/26 20:35

関数とは

何を何に対応させたかという事を明確にしなければいけません
y=2x
と書いただけでは関数とはいえません
xをy=2xに対応させる事を明確にするため

x→y=2x

と書かなければいけません

x=2y
と書いただけでは逆関数とはいえません

x→y=x/2

と書かなければいけません

No.7 回答者： kmee 回答日時： 2023/08/26 12:17

> 例えばy=2xの(a,b)を(1,2)とした時、x=2yにx=1,y=2を代入したら、1=2×2となってしまいませんか？

x=aのときy=bとなる関数の逆関数は、x=bのときy=aになる関数です。
f(x)上の点(a,b)=(1,2) に対応する逆関数の点は (b,a)=(2,1)です。