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数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。

(1)【線形2階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
   y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。

(2)【非線形2階微分方程式】
非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
   y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x)
が非線形2階微分方程式ということでしょうか?

(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)


など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合=f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。
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 簡単に言います。


 y、y’、y’’同士の掛け算がなければ線形、あれば非線形です。

(非線形の例)
 y^2、yy'、y'^2、y'y''、yy''、y''^2、y^3、yy'y'' など
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この回答へのお礼

わかりやすくて、感動しました!
友だちに自慢できます笑。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/10/04 10:42

未知関数yその導関数y'(x),y''(x)について1次式のとき線形


y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)は線形

未知関数yその導関数y'(x),y''(x)について1次式になっていないとき非線形
例えば非線形の例:
y'y''+p(x)y'+q(x)y^2=f(x)
y''+μ(y^2-1)y'+y=0・・・van der pol方程式
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この回答へのお礼

とてもわかりやすいご解説、
ありがとうございました。
これでスッキリしました!

お礼日時:2008/10/04 10:44

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