教えてください

（１）ｘを正数とするとき、log(1+1/x)と1/x+1の大小を比較せよ。
（２）（1+2012/2013)^2013/2012と（1+2013/2012)^2012/2013の大小を比較せよ。
お願いします。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/10 04:02

(1)

f(x)=log(1+1/x)-1/(x+1)
とおくと、
f'(x)=(-1/x^2)/(1+1/x)+1/(x+1)^2=-1/(x(x+1)^2)<0
なので、f(x)は単調関数で、
f(x)→0　（x→∞）
f(x)→∞　（x→+0）
より、f(x)>0となり、
log(1+1/x)>1/(x+1)

(2)
f(x)=(1+1/x)^x
とおくと、
log(f(x))=xlog(1+1/x)
f'(x)=f(x)(log(1+1/x)-1/(x+1))>0
f(1)=2
f(2)=9/4
なので、f(x)は単調増加関数

f(2013/2012)=(1+2012/2013)^(2013/2012)
f(2012/2013)=(1+2013/2012)^(2012/2013)
2013/2012>2012/2013
より、
(1+2012/2013)^(2013/2012)>(1+2013/2012)^(2012/2013)

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/09 14:55

1/x+1　は、

(1/x)+1　なのか、1/(x+1)　なのか

(1+2012/2013)^2013/2012　は、
((1+2012/2013)^2013)/2012　なのか、(1+2012/2013)^(2013/2012)　なのか

数式をテキストで書く場合は、適切な括弧をつけないと前者の意味に解釈されます。

それでいいのですか？

この回答への補足

1/(x+1)と(2013/2012)乗です。
すみませんでした。

補足日時：2013/02/10 00:22