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lim[x→0]logf(x)=logaが成立するとき

lim[x→0]f(x)=a

が成立する理由は何ですか?

一般には極限と交換はできないと思います。

例えば極限と積分など(項別積分?だっけ)

対数の場合はどういった理由で交換できるのですか?

A 回答 (6件)

そう。


つまり、logf(x)=loga
のとき、f(x)=a以外に上式を満たすことができないからf(x)→aが言えるってこと、sinやcosの場合他の対応関係(収束値の可能性)も考えられるでしょ?ってこと。

この回答への補足

では、高校生でもわかるように言うと、対数関数は連続で単調増加なので

lim[x→0]logf(x)=loga ⇒

lim[x→0]f(x)=a

が成立するということでしょうか?

では、一般にfが連続で単調な関数のとき、

limf(g(x))=f(a) ⇒ limg(x)=a

ということが成立するのですか? 

補足日時:2014/02/15 14:01
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全単射じゃなくてもよいが、単射である必要はある。

例えば、x→∞でsinf(x)が1/2に収束したところで、f(x)→π/6とは言えませんよね。

この回答への補足

ちょっとよくわからないですけど、

あるnが存在して

f(x)=π/6 + 2nπ または 5π/6 + 2nπ

と表せるということですか?

補足日時:2014/02/14 17:20
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#2の通り、指数対数の連続性と、あと一つ、0<xでxとlogxが一対一対応(ここでは全単射)だからです。

この回答への補足

全単射性はなぜ必要なのでしょうか?

補足日時:2014/02/09 17:45
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式だけで追っていくと難しいかもしれない. #2 への補足にある式でも, 実は


e^(limlogf(x))=lime^(logf(x))
のところが微妙にあやしいし.

極限の定義 (と指数関数の連続性) から導けることは間違いない (はず: 私が勘違いしていなければ) んだけど... 極限の定義は出てきてます?

この回答への補足

極限の定義は出てきてます?とはどういうことでしょうか?

補足日時:2014/02/14 17:44
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指数関数が定義域で連続だから.

この回答への補足

指数関数の連続性をどう使うのですか?

a=e^(loga)=e^(limlogf(x))=lime^(logf(x))=limf(x)

ということですか?

なんかこの式から成立するような気がします。

補足日時:2014/02/08 15:52
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移項して、


lim log{ f(x) }- log(a)
= lim [ log{ f(x) }- log(a) ]
= lim [ log{ f(x)/a } ]

より、
lim [ log{ f(x)/a } ]= 0
よって、f(x)/a→ 1となり、f(x)→ a (x→0)ではダメですかね?

この回答への補足

lim [ log{ f(x)/a } ]= 0
よって、f(x)/a→ 1となり

とありますがその理由が知りたいのです

またこの場合a=0のときを特別視する必要があります。

補足日時:2014/02/08 12:44
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この回答へのお礼

a=0は含みませんでした、すみません

解答ありがとうございます。

お礼日時:2014/02/08 15:53

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