極限が無理数とか有理数になる

xは実数とします。

質問1
f(x)は有理数で
lim(x→∞)f(x)は無理数になるf(x)の具体例を教えてください。

質問2
g(x)は無理数で
lim(x→∞)g(x)は有理数になるg(x)の具体例を教えてください。

数式で表せない場合、言葉による定義でも結構です。

No.5 回答者： cage64 回答日時： 2023/02/19 09:21

質問1

数列a[n](n=0,1,...)を有理数からなる数列で無理数に収束するもの、として、
f(x)=0 (x<0), =a[n] (n<=x<n+1)
とする。
a[n]の例はすでにあがってますが、他の例としては 1, 1.4, 1.41, 1.414, (√2の小数展開）

質問2
1と同様で、数列a[n]を、各項は無理数だが収束先は有理数になるものにする。
この数列の例もあがってますが、他の例として 1-1/√2, 1-1/(2√2), 1-1/(3√2), ... (a[n]=1-1/((n+1)√2))　をあげときます。

f(x)が十分大きな実数全体（例えば区間(a,∞))での連続関数なら、有理数だけをとる連続関数、無理数だけをとる連続関数はいずれも定数関数だけ（有理数の稠密性と中間値の定理より明らか）なので、このような例はない。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/19 08:36

x は実数なんですね。

f(x) = [ π 10^[x] ] / 10^[x],
g(x) = π / ( [x] + 0.5 )
なんてどう？
[x] はガウス記号、x の整数部分を表します。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/02/19 06:49

No2ですが、訂正です。

質問2についての2番目の例は

g(x)=√２ー√（２＋1/x）
と直してください。０に収束する。０は有理数ではないというなら
g(x) = 1+√２ - √(2 + 1/x)
とでもしてください。１に収束する。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/02/19 06:17

１はπ（円周率）に収束する有名なグレゴリー・ライプニッツ級数がある。

https://manabitimes.jp/math/775

２は易しい、いくらでもつくれる。たとえば、

g(x)＝1＋√（１＋1/ｘ）
g(x)=√２ + √（1/x)

などはどうですか？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/19 05:55

自然数nに対して

f(n)=Σ_{k=0～n}1/k!
とすると
f(n)は有理数
lim_{n→∞}f(n)=Σ_{k=0～∞}1/k!=e
は
無理数