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微分の問題なのですが

aを定数として、関数f(x)=2x^3-3ax^2+6(a-1)x+a-4とすると

(1)f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか?

(2)xについての方程式f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは
   aがどのような条件のときですか?

ちなみに(1)の答えが aキ2になるのですが
私は判別式を使って解いたのですが
aキ2はでてきませんでした。

(2)は解答ではa<0,4<aです。
教えて下さい。お願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

emiyanさん、こんにちは。



>(1)f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか?

まず、y=f(x)の導関数f'(x)を求めます。
f'(x)=6x^2-6ax+6(a-1)
=6{x^2-ax+(a-1)}・・・(☆)
さて、ここでy=f(x)が、極値を持つには、導関数f'(x)が異なる二つの実数解を
持たねばならないので、その判別式>0でなければならない。

(☆)の判別式をとってみましょう。
D=a^2-4(a-1)
=a^2-4a+4
=(a-2)^2
これは常に、0以上ですから、判別式が正になるためには、D≠0
でなければなりません。よって、a≠2という条件になります。

>(2)xについての方程式f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは
   aがどのような条件のときですか?

これは、ちょっと難しいですが、グラフで考えてみるといいですね。
y=f(x)が、3つの異なる実数解を持つということは、
y=f(x)のグラフが、x軸と3点で交わるということになります。

つまり、それはどういうことかというと、
極大値>0かつ、極小値<0ということになるのです。

極大値、極小値をとりうるxの値は、(☆)を因数分解すれば、
(☆)={x-(a-1)}(x-1)
となりますので、x=a-1,1です。
この、1とa-1とを大小比較して、場合わけして極大値、極小値を求めましょう。

ちょっと、やってみますね。
1)a-1>1のとき(すなわち、a>2のとき)
このとき、増減表を書いてみると、

x  ・・・1 ・・・・・・a-1 ・・・・
------------------------------------------
f'(x)   0       0       
------------------------------------------
f(x)   f(1)      f(a-1)  
     極大      極小

となりますね。
このとき、f(1)=4a-8>0これは、a>2を満たす

f(a-1)=2(a-1)^3-3a(a-1)^2+6(a-1)(a-1)+a+4
=(a-1)^2{2(a-1)-3(a-2)}+a-4
=(a-1)^2(-a+4)+(a-4)
=a(a-4)(a+2)
と、因数分解できるので、これがf(a-1)<0であるためには、a<-2,4<a
ただし、最初にa>2の場合を考えているので、このとき4<a
したがって、1)の場合は、4<a

2)a-1<1のときも同様に場合わけして、増減表から、aの範囲を出してみてください。
同じように考えてみてくださいね!

それでは、かなり難しいと思いますが、頑張ってください。
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この回答へのお礼

fushigichanさん、こんばんわ。
本当に分かりやすい説明ありがとうございました。
f(a-1)を計算するのが大変そうですが。
頑張ってやってみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2003/03/28 22:29

(1)について


f(x)を微分して
f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1)
f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0 が異なる実数解を持つ。
f'(x)を6で割って x^2-ax+(a-1)=0 で考えても同じ。
この判別式 a^2-4(a-1)= a^2-4a+4=(a-2)^2≧0
よって、異なる実数解を持つ条件は(a-2)^2≠0 よって a≠2

(2)について
グラフを書いてイメージしてみましょう。
f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは
極大値>0 かつ 極小値<0 であれば良いわけです。
f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1) = 6(x^2-ax+a-1) =6(x-1)(x+a-1) ですね。
この因数分解に気が付くかがポイントかもしれません。
よって、極値をとるのは、x=1のときと、x=-a+1 のときです。
あとは、x=1 と x=-a+1 の大小関係によって場合分けし、f(1)とf(-a+1)を計算して、「極大値>0 かつ 極小値<0」の条件を考えるだけです。
頑張ってください。
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この回答へのお礼

hinebotさん、的確な説明ありがとうございました。
因数分解にはなんとか気がついたのですが、その後の
f(-a+1)の計算がややこしく大変そうですが、
頑張って見ます。ありがとうございました。

お礼日時:2003/03/28 22:32

f'(x)は2次式なので,f(x)が極値を持つ⇔f'(x)が符号変化することで,


その条件はf(x)が3次関数より,2次方程式f'(x)=0が異なる2実解をもつ・・・(*)こと.
すると D=(a-2)^2>0 ⇔ a≠2 (Dはa=2のとき0で,それ以外だと常に正)

または,因数分解に気づくともっと早い. (*)⇔a-1≠1 より a≠2

これは(1)でf'(x)の因数分解に気づいていないとちょっと遠回り.
a≠2の条件の下に,f'(x)=0 の異なる2実解をα,β(α<β)として, 
求める条件は f(α)f(β)<0 (増減を調べるとf(α)が極大値,f(β)が極小値)

これを解けばよい.
[実はf'(x)=0の2解a-1,1を使えばもっと楽]
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この回答へのお礼

素早いお返事ありがとうございました。
これから頑張って考えて見ます。
ありがとうございました。

お礼日時:2003/03/28 22:35

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