![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?8acaa2e)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
emiyanさん、こんにちは。
>(1)f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか?
まず、y=f(x)の導関数f'(x)を求めます。
f'(x)=6x^2-6ax+6(a-1)
=6{x^2-ax+(a-1)}・・・(☆)
さて、ここでy=f(x)が、極値を持つには、導関数f'(x)が異なる二つの実数解を
持たねばならないので、その判別式>0でなければならない。
(☆)の判別式をとってみましょう。
D=a^2-4(a-1)
=a^2-4a+4
=(a-2)^2
これは常に、0以上ですから、判別式が正になるためには、D≠0
でなければなりません。よって、a≠2という条件になります。
>(2)xについての方程式f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは
aがどのような条件のときですか?
これは、ちょっと難しいですが、グラフで考えてみるといいですね。
y=f(x)が、3つの異なる実数解を持つということは、
y=f(x)のグラフが、x軸と3点で交わるということになります。
つまり、それはどういうことかというと、
極大値>0かつ、極小値<0ということになるのです。
極大値、極小値をとりうるxの値は、(☆)を因数分解すれば、
(☆)={x-(a-1)}(x-1)
となりますので、x=a-1,1です。
この、1とa-1とを大小比較して、場合わけして極大値、極小値を求めましょう。
ちょっと、やってみますね。
1)a-1>1のとき(すなわち、a>2のとき)
このとき、増減表を書いてみると、
x ・・・1 ・・・・・・a-1 ・・・・
------------------------------------------
f'(x) 0 0
------------------------------------------
f(x) f(1) f(a-1)
極大 極小
となりますね。
このとき、f(1)=4a-8>0これは、a>2を満たす
f(a-1)=2(a-1)^3-3a(a-1)^2+6(a-1)(a-1)+a+4
=(a-1)^2{2(a-1)-3(a-2)}+a-4
=(a-1)^2(-a+4)+(a-4)
=a(a-4)(a+2)
と、因数分解できるので、これがf(a-1)<0であるためには、a<-2,4<a
ただし、最初にa>2の場合を考えているので、このとき4<a
したがって、1)の場合は、4<a
2)a-1<1のときも同様に場合わけして、増減表から、aの範囲を出してみてください。
同じように考えてみてくださいね!
それでは、かなり難しいと思いますが、頑張ってください。
fushigichanさん、こんばんわ。
本当に分かりやすい説明ありがとうございました。
f(a-1)を計算するのが大変そうですが。
頑張ってやってみます。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
(1)について
f(x)を微分して
f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1)
f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0 が異なる実数解を持つ。
f'(x)を6で割って x^2-ax+(a-1)=0 で考えても同じ。
この判別式 a^2-4(a-1)= a^2-4a+4=(a-2)^2≧0
よって、異なる実数解を持つ条件は(a-2)^2≠0 よって a≠2
(2)について
グラフを書いてイメージしてみましょう。
f(x)=0が異なる3個の実数解を持つのは
極大値>0 かつ 極小値<0 であれば良いわけです。
f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1) = 6(x^2-ax+a-1) =6(x-1)(x+a-1) ですね。
この因数分解に気が付くかがポイントかもしれません。
よって、極値をとるのは、x=1のときと、x=-a+1 のときです。
あとは、x=1 と x=-a+1 の大小関係によって場合分けし、f(1)とf(-a+1)を計算して、「極大値>0 かつ 極小値<0」の条件を考えるだけです。
頑張ってください。
hinebotさん、的確な説明ありがとうございました。
因数分解にはなんとか気がついたのですが、その後の
f(-a+1)の計算がややこしく大変そうですが、
頑張って見ます。ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
f'(x)は2次式なので,f(x)が極値を持つ⇔f'(x)が符号変化することで,
その条件はf(x)が3次関数より,2次方程式f'(x)=0が異なる2実解をもつ・・・(*)こと.
すると D=(a-2)^2>0 ⇔ a≠2 (Dはa=2のとき0で,それ以外だと常に正)
または,因数分解に気づくともっと早い. (*)⇔a-1≠1 より a≠2
これは(1)でf'(x)の因数分解に気づいていないとちょっと遠回り.
a≠2の条件の下に,f'(x)=0 の異なる2実解をα,β(α<β)として,
求める条件は f(α)f(β)<0 (増減を調べるとf(α)が極大値,f(β)が極小値)
これを解けばよい.
[実はf'(x)=0の2解a-1,1を使えばもっと楽]
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 関数の極値と微分係数の関係について 6 2023/04/23 14:35
- 数学 f(x)=2x+∮(0~1)(x+t)f(t)dt を満たす関数f(x)を求めよ。 3 2022/07/05 22:54
- 大学受験 ある大学の数1,Aの過去問なのですが回答に解説がなく困っています。誰か解説をつけて欲しいです(><) 1 2022/11/05 12:57
- 数学 接線の本数を求めたいときの与式の微分について FG例題206 f(x)=xe^-x とするとき、 実 4 2023/07/24 15:43
- 数学 微分について教えてください 放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点におけ 5 2023/04/16 15:38
- 数学 当方高校生ですので、高校数学で理解出来る回答をお願いします。 実数係数の3次式f(x)で、 ・f(x 2 2022/10/07 18:38
- 数学 高校数学で質問があります。 2 2023/02/13 16:40
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 確率について ①Xが実数値をとる確率変数で、f(x)=0(x<=-1),1/4x+1/4 (-1<= 2 2022/06/20 18:44
- 数学 aを実数の定数とする。xの方程式 (x²+2x)²ーa(x²+2x)ー6=0 の異なる実数解の個数を 4 2023/02/13 23:15
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ぜっったいちがくないですか?...
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
ローラン展開の式をわかりやす...
-
sinx/xの微分係数
-
微分について
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
掛け算も足し算も同じ値
-
因数分解
-
左上図、左下図、右上図、右下...
-
関数 f(x) = e^(2x) につい...
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
-
高校数学です。y=|x|+1 は奇...
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
数学 定積分の問題です。 関数f...
-
急いでます!!
-
微分の問題
-
数学 fとf(x) の違いについて
-
数学の問題です。 f(x)=x^ne^-x...
-
これでなぜ微分可能で連続と言...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
微分について
-
大学の問題です。
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
大学への数学(東京出版)に書...
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
関数 f(x) = e^(2x) につい...
-
極限、不連続
-
マクローリン展開の問題です n=...
-
n次導関数
-
数学 微分について
-
微分可能ならば連続の証明につ...
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
関数f(x)がC∞-級関数であること...
-
"交わる"と"接する"の定義
-
【数3 式と曲線】 F(x、y)=0と...
-
次の等式を満たす関数f(x)を求...
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
おすすめ情報