急いでます！！

急いでます！！

a>0とする。関数f(x)=｜x^3-3a^2x｜の-1以上1以下における最大値をＭ(a)とするとき
（１）Ｍ(a)をaを用いて表せ。
（２）Ｍ(a)を最小にするaの値を求めよ。

よろしくお願いします(>_<)

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2010/09/06 20:29

f(x)=｜x^3-3a^2x｜の絶対値を外した

y=x^3-3a^2x
を適当なa>0について描いてみて考えれば
解ります。
f(x)=｜x^3-3a^2x｜はy=x^3-3a^2xの負の部分を正の方に折り返せばよい。
微分して
dy/dx=3x^2-3a^2
よってyはx=a,-aで極値、極大値はx=-aでy=2a^3
従ってy=2a^3となるｘは
y=x^3-3a^2x=2a^3
これは
(x+a)^2(x-2a)=0
となり
x=-aで重根（先ほどの極大値）,x=2aで単根
描いたグラフを見ながら考えると

(1)
1≧2aのとき、すなわち0<a≦1/2のとき
M(a)=f(1)=｜1-3a^2｜=1-3a^2 (1)
1≦2aのとき、すなわちa≧1/2のとき
M(a)=f(a)=2a^3　　　　　　　　(2)

(2)
(1)と(2)をグラフに描いてみればわかるように
M(a)はa=1/2のとき最小値1/4をとる。

この回答へのお礼

詳しく教えてくださりありがとうございます(^O^)

でも、x=±aで極値までは分かるのですが
そのあとからなぜx=－aで極大値になるのか
分かりません(>_<)

お礼日時：2010/09/07 17:48

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2010/09/08 10:50

No.1です。

f(x)=｜x^3-3a^2x｜の絶対値を外した
y=x^3-3a^2x
を適当なa>0について描いてみて考えれば
解ります。
f(x)=｜x^3-3a^2x｜はy=x^3-3a^2xの負の部分を正の方に折り返せばよい。
微分して
dy/dx=3x^2-3a^2
よってyはx=a,-aで極値、極大値はx=-aでy=2a^3

y=x^3-3a^2xの変化は以下のとおり
x→-∞でy→-∞
x=-aで極大、極大値y=2a^3
x=aで極小、極小値y=-2a^3
x→∞でy→∞

f(x)は、このyのマイナス側をプラス側に折り返したものなので

f(x)の変化は以下のとおり
x→-∞でf(x)→∞
x=-aで極大、極大値f(x)=2a^3
x=aで極大、極大値f(x)=2a^3
x→∞でf(x)→∞

グラフを描いて考えてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

無事に解くことができました。

お礼日時：2010/09/08 21:02

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/06 22:53

x = az で置換し、

y = ｜z↑3 - 3z｜ のグラフを描いて考えると
考え易い。
一旦 y = z↑3 - 3z のグラフを描けば、
上記のグラフは直ぐ描ける。
｜z｜ ≦ 1/a の範囲で、y の最大値は何処か？
1/a の値で場合分けして整理する。