微分可能

ｙ＝f(x)=（ｘ＾２）*sin(1/x) {x=0でないとき}
=0 {x=0}

(1)ｘ＝０で連続であるか？
(2)ｘ＝０で微分可能か？考察せよ


という問題で
(1)はlim｛ｘ→０｝ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＝０なので連続？
だと思ったんですがこれを超丁寧に説明するとどうなりますか？

(2)は微分可能の定義
ｆ’（a）=lim{x→a}f(x)-f(a)/x-a が存在するときｘ＝aで微分可能であると言える
ってのはわかるんですが
これをどう使えばいいのか
そもそも存在するかどうかってどうやって示すんですか？
この問題についても超丁寧に説明するとどうなりますかね？

（超丁寧というのはまったく突っ込みようがないぐらいということです）

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#123174 回答日時： 2010/12/16 17:37

(1)

(x=0で)f(x)が連続である定義：∃δ>0 s.t |x|<δ　⇒　|f(x)-f(0)|<ε　for 任意のε>0
を利用して分かることは、
x^2はx=0で連続なので次が成立
　　　　　　　∃δ>0 s.t |x|<δ　⇒　|x^2|<ε　for 任意のε>0　・・・・(1)

さらにf(0)=0,
|x^2sin(1/x)|≦|x^2|　(for 任意のx>0)であるから(1)より
　　　　　　　∃δ>0 s.t |x|<δ　⇒　|x^2sin(1/x)|≦|x^2|<ε　for 任意のε>0
だから
f(x)=x^2sin(1/x)はx=0で連続。(連続どころか一様連続である)

(2)
f'(0)=lim(h→0)(f(h)-f(0))/h=lim(h→0)(h^2sin(1/h))/h
=lim(h→0)hsin(1/h)
h>0とすると
-h≦hsin(1/h)≦h　、h→＋0で-hとhは0に収束をもつからlim(h→＋0)hsin(1/h)=0
h<0としても同じ議論が得られ、lim(h→-0)hsin(1/h)=0

以上でf'(0)=lim(h→0)hsin(1/h)=0、f(x)は原点(x=0のときf(x)=0から)で微分可能。

No.2 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/13 21:58

数学は徳治じゃないが・・・・・

先ず、微分可能なら連続。　したがって（１）は成立するが（２）は成立しないと
言う問題ではなかろうか、と推測して解いた方が安全。

（１）なのだが、
　　x →０　のとき、　ｆ（ｘ）＝｛（ｘ）*（１/ｘ）｝→０　と言えますか？
　　　　つまり、この例はあまりに自明なのでバカバカしくおもわれるかもしれませんが、
　　　　　→　0×∞　のような場合には　→０　とは言えぬということ。
x →０　のとき sin(1/x) は有限の値をとることの説明が必要ということ。

(2)は微分可能の定義
　定義を思い出して下さい、ｘ の点で微分可能というのは
　　ｈ→０のとき、
　　　ｆ’（ｘ）＝｛ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）｝/h, 　h→０
　ｘ＝０　の点での微分可能性なのだから、
　
　　　ｆ’（0）＝｛ｆ（ｈ）－ｆ（0）｝/h, 　h→０
h≠0 だから、f(ｈ)=（ｈ＾２）*sin(1/ｈ)
　　　　定義から　f(0)=0
　・・・・・・・・・
超丁寧に説明というより、
　あなたがしっかりと、「微分可能性」、「連続」　の定義を憶えろということ。
　　　　

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/12/13 21:44

こんばんわ。

「超丁寧」というのがどこまですればいいのか・・・＾＾；

(1)は、「連続である」でいいと思います。
が、質問での表現は少しいけないかと。

lim[x→0] f(x)＝ lim[x→0] x^2* sin(1/x)＝ 0となり、これは f(0)＝ 0に一致する。
よって、連続である。

lim[x→0] f(x)＝ f(0)ではありません。
この表現だと、f(x)の xに 0を代入したようになってしまいます。
lim[x→0] f(x)を計算したら 0となって、これは f(0)に一致しました。
という表し方がいいと思います。


(2)微分係数の定義としては、次のような表し方もありますね。
lim[h→0] { f(x+h)- f(x) }/ h＝ f '(x)

今の問題では、こちらの方が考えやすいように思います。

微分可能というのは、
・左極限と右極限が存在し、
・同じ有限確定値になることを示せばよいです。
つまり、lim[h→ +0]と lim[h→ -0]での値が一致することを示せばよいです。

h→ -0を計算するときに、H＝ -hとでも置きなおして考えれば示しやすいと思います。