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xの多項式f(x)最高次の項の係数は1で、(x-1)f(x)
=2f(x)+8という関係が常に成り立つ。このとき、f(x)を求めよ。
こと問題を教えてください

A 回答 (5件)

係数比較で簡単に解けるから、微分方程式を持ち出すほどの問題ではないでしょう。



f(x)の次数をnとすると、最高次の項はx^nである。
すると、(x-1)f'(x)の最高次の項はnx^n、2f(x)+8の最高次の項は2x^nで、これが等しいから、n=2

よって、f(x)=x²+ax+bとおけて、(x-1)(2x+a)=2(x²+ax+b)+8
2x²+(a-2)x-a=2x²+2ax+2b+8
係数を比較して、a-2=2a、-a=2b+8だから、a=-2、b=-3
よって、f(x)=x²-2x-3
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No.3の回答の方が「変数分離法」まで書いてくれたので


中途で終わっては、残念でしょう。
(x-1)f'(x)=2f(x)+8__(1)
変数分離形
  ∫ (1/(2f + 8)) df = ∫ (1/(x-1)) dx__(2)
=(1/2) ∫ (1/(f + 4)) df = ∫ (1/(x-1)) dx
(1/2)log(f + 4) = log(x-1) +C__Cは積分定数
log(f + 4) = 2log(x-1) +2C= log(k(x-1)^2)
kは定数で、log(k)=2Cの関係がある。
f + 4= k(x-1)^2
f = k(x-1)^2-4__(3)
f(x)の最高次の項の係数は1という条件が与えられているから、k=1
である。よって
f(x) =(x-1)^2-4=x^2-2x-3__(4)
となる。
検算:(4)を微分すると
f ' (x) =2x-2__(5)
(5)と(4)を(1)の各辺に入れると
(x-1)f'(x)=2f(x)+8__(1)
(x-1)( 2x-2) =2(x^2-2x-3)+8
2(x-1)^2=2x^2-4x+2
合っている。
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(x-1)f'(x)=2f(x)+8


でしょが。
  f(x)=x^n + a[1]x^(n-1) + … + a[n]
とおいて代入してみれば、これが恒等式(「常に成り立つ」式)になるためには x^k (k=1,2,…,n) の係数がどれも0でなくてはならないんで、n=2だと分かる。あとは手を動かすだけ。

 あるいは、多項式だの最高次の係数が1だのという条件は無視して、微分方程式だと思って解くこともできる。いわゆる「変数分離法」が使えて
  ∫ (1/(2f + 8)) df = ∫ (1/(x-1)) dx
を計算すれば良い。
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x=3の時、質問の式は絶対に成り立たない。


写し間違いでなければ解無し。
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正確に写す様に!


(x-1)f'(x) = 2f(x)+8 の間違いでは無いかい?
つまり左辺のf(x)はf'(x)の写しミスだろ?って事。
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