xの多項式f(x)最高次の項の係数は1で、(x-1)f(x) =2f(x)+8という関係が常に成り立

xの多項式f(x)最高次の項の係数は1で、(x-1)f(x)
=2f(x)+8という関係が常に成り立つ。このとき、f(x)を求めよ。
こと問題を教えてください

No.5 回答者： springside 回答日時： 2018/04/01 12:10

係数比較で簡単に解けるから、微分方程式を持ち出すほどの問題ではないでしょう。

f(x)の次数をnとすると、最高次の項はx^nである。
すると、(x-1)f'(x)の最高次の項はnx^n、2f(x)+8の最高次の項は2x^nで、これが等しいから、n=2

よって、f(x)=x²+ax+bとおけて、(x-1)(2x+a)=2(x²+ax+b)+8
2x²+(a-2)x-a=2x²+2ax+2b+8
係数を比較して、a-2=2a、-a=2b+8だから、a=-2、b=-3
よって、f(x)=x²-2x-3

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/31 16:47

No.3の回答の方が「変数分離法」まで書いてくれたので

中途で終わっては、残念でしょう。
(x-1)f'(x)=2f(x)+8＿＿(1)
変数分離形
　　∫ (1/(2f + 8)) df = ∫ (1/(x-1)) dx＿＿(2)
＝(1/2) ∫ (1/(f + 4)) df = ∫ (1/(x-1)) dx
(1/2)log(f + 4) = log(x-1) +C＿＿Cは積分定数
log(f + 4) = 2log(x-1) +2C= log(ｋ(x-1)^2)
ｋは定数で、log(ｋ)=2Cの関係がある。
f + 4= ｋ(x-1)^2
f = ｋ(x-1)^2－4＿＿(3)
f(x)の最高次の項の係数は1という条件が与えられているから、ｋ=1
である。よって
f(x) =(x-1)^2－4=x^2－2x－3＿＿(4)
となる。
検算：(4)を微分すると
f ' (x) =2x－2＿＿(5)
(5)と(4)を(1)の各辺に入れると
(x-1)f'(x)=2f(x)+8＿＿(1)
(x-1)( 2x－2) =2(x^2－2x－3)+8
2(x-1)^2=2x^2－4x+2
合っている。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/24 23:21

(x-1)f'(x)=2f(x)+8

でしょが。
　　f(x)=x^n + a[1]x^(n-1) + … + a[n]
とおいて代入してみれば、これが恒等式（「常に成り立つ」式）になるためには x^k (k=1,2,…,n) の係数がどれも0でなくてはならないんで、n=2だと分かる。あとは手を動かすだけ。

　あるいは、多項式だの最高次の係数が1だのという条件は無視して、微分方程式だと思って解くこともできる。いわゆる「変数分離法」が使えて
　　∫ (1/(2f + 8)) df = ∫ (1/(x-1)) dx
を計算すれば良い。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2018/03/18 19:04

x=3の時、質問の式は絶対に成り立たない。

写し間違いでなければ解無し。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/03/18 19:00

正確に写す様に！

(x-1)f'(x) = 2f(x)+8 の間違いでは無いかい？
つまり左辺のf(x)はf'(x)の写しミスだろ？って事。