
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>g(x)を一回微分したとき、やっぱり分母にsin0がでてきて、うまくいかないようにおもいます。
確かにg'(x)も、単純にx=0を代入することは出来ない形になります。
具体的には
g'(x) = (sin(x)-x*cos(x))/((sin(x))^2)
となると思いますが、これもx=0のとき0/0型の不定形になるのでx→0での極限が存在する可能性があります。
実際、
lim[x→0]{g'(x)} = 0
となるので、g(0)をg(x)のx→0での極限で定義すればマクローリン展開の式に当てはめることが出来ます。
同様にg''(x)も、一般のn次導関数もx=0で不定形になりますがx→0での極限が存在するため、それらの極限を用いてx=0における値を定義すればマクローリン展開が可能ということです。
>ローラン展開した場合でも
>展開式に「1/x」の項が現れるため、x=0とおけず、f(0)も未定義になることは変わりありません。
#1さんの仰るように、f(0)が定義されないためにf(x)をマクローリン展開することはできません。
しかし、少しの工夫を加えるとマクローリン展開に変わるローラン展開をすることは出来ます。
私は、f(x)のマクローリン展開が可能である事を示したのではなく、マクローリン展開(テイラー展開)の発展としてのローラン展開をすることは可能であると言うことを具体的な方法とともに示しただけです。
x=0とおけるかどうかを調べる必要はありますが、x=0とおけないからといってそこで議論を終了する必要はありません。
また、f(0)が存在しないからといって、f(x)自体が全くの無意味になるわけではありません。
x≠0なる場合に着目すれば、f(x)にもf(x)のローラン展開にも充分に意味があります。
実際にf(x)をローラン展開した式はx=0の近く(ただしx≠0)でf(x)の値を与えます。
テイラー展開にしてもローラン展開にしても、x=aで展開したときのx=aにおける値だけが重要なのではありません。
x=aの近くでも同様に、展開した式が正しく機能するからこそ重要なのです。
何にしてもf(x)のマクローリン展開は出来ません。ローラン展開なら出来ます。
以上です。
マクローリンのとらえ方等、勉強を深めることができました。
何ができるのか、何はできないのか、そこでどう考えるのか等
いろいろな考えを示してもらいありがとうございます。
No.3
- 回答日時:
#1です。
#2さんの言われることをやってもダメなものはダメで、
マクローリン展開はやはりできず、ローラン展開ならできるということです。
しかし
ローラン展開した場合でも
展開式に「1/x」の項が現れるため、x=0とおけず、f(0)も未定義になることは変わりありません。
参考)
g(x)=x/sin(x)(x≠0), g(x)=1(x=0)
で定義したg(x)のマクローリン展開
g(x)=1+(1/6)(x^2)+(7/360)(x^4)+(31/15120)(x^6)+(127/604800)(x^8)
+(73/3421440)(x^10)+...
(1/x)をかけて形式的にf(x)=(1/x)g(x)で計算した展開式(ローラン展開)
は
f(x)=(1/x)+(1/6)x+(7/360)(x^3)+(31/15120)(x^5)+(127/604800)(x^7)
+(73/3421440)(x^9)+...
となります。
f(0)が未定義なので、当然x=0とは置けませんね。
また、質問で書かれたマクローリン展開の定義式に該当した展開式では
表せない。つまりマクローリン展開できないことを意味します。
こういったことを含めて、A#1のように
f(x)=1/sin(x)はマクローリン展開できない
と回答したわけです。
マクローリン展開について、考えを深めることができました。
x=0のときの取り扱いが、問題だということがよく分かりました。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
たしかにf(x)=1/sin(x)はx=0で定義されないのでマクローリン展開することはできません。
しかし次のように変形してみてください
f(x) = 1/sin(x) = (1/x)*(x/sin(x))
右辺においてg(x)=x/sin(x)とすると
lim[x→0]{g(x)} = lim[x→0]{x/sin(x)} = 1
となり、これよりg(0)をx→0の極限として定義すれば、g(x)をx=0の周りでマクローリン展開することが出来ます。
g(x)が展開されたなら
f(x) = g(x)/x
という関係を用いて、g(x)の展開式をxで割ることで(全ての項の次数を1ずつ下げることで)f(x)が展開できます。
このようにして展開した式はx^(-1)の項を含むのでマクローリン展開ではなくローラン展開と呼ばれます。
この回答への補足
>これよりg(0)をx→0の極限として定義すれば、g(x)をx=0の周りでマ クローリン展開することが出来ます。
g(0)=1とするということでしょうか。
確かに、g(x)が展開できれば、xで割ればうまくいくと思います。ただ、g(x)の展開がやっぱり、うまくいかないように思います。
g(x)を一回微分したとき、やっぱり分母にsin0がでてきて、うまくいかないようにおもいます。
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
x=0ではf(x)は発散しますのでf(x)が定義されていません。
、定義されていないx=0でのマクローリン展開は出来ません(展開不能)。
つまりマクローリン展開は存在しない。ということです。
sin(x)≠0となるxでのテーラー展開なら存在します。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術
中・小規模の店舗やオフィスのセキュリティセキュリティ対策について、プロにどう対策すべきか 何を注意すべきかを教えていただきました!
-
ローラン展開について
数学
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
複素解析で、極の位数の求め方
数学
-
4
arcsinのマクローリン展開について
数学
-
5
【応用解析】特異点 留数 位数について
数学
-
6
exp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。
数学
-
7
マクローリン展開の問題教えてください。
数学
-
8
大学数学の極限の問題について lim【x→+0】(1/x -1/sinx )の極限はどのように求める
数学
-
9
留数のところが・・・。
数学
-
10
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
数学
-
11
偏微分の記号∂の読み方について教えてください。
数学
-
12
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
13
e^2xのマクローリン展開を求めたいです
数学
-
14
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
15
cos2Xをマクローリン展開すると?
その他(自然科学)
-
16
ローラン展開について
数学
-
17
e^-2xの積分
数学
-
18
正負を反転させて出力するプログラム
C言語・C++・C#
-
19
微分方程式の問題
数学
-
20
ベクトル解析∇・(∇×а)=0を詳しく証明してくだい
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
人気Q&Aランキング
-
4
数学の証明問題です(大学レベル)
-
5
マクローリン展開のn次の係数を...
-
6
微小量とはいったいなんでしょ...
-
7
微分可能なのに導関数が不連続?
-
8
微分の公式の証明
-
9
関数方程式f(x)=f(2x)の解き方...
-
10
f(x)=|x-3|+|x-2|+|x-1|の最...
-
11
極限、不連続
-
12
関数の極限
-
13
「次の関数が全ての点で微分可...
-
14
積分する前のインテグラルの中...
-
15
f(x)=xe^-2xの極大値
-
16
パーセバルの等式
-
17
"交わる"と"接する"の定義
-
18
答えが0になるめちゃくちゃ難し...
-
19
方程式の解について
-
20
yとf(x)の違いについて
おすすめ情報
公式facebook
公式twitter