
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>g(x)を一回微分したとき、やっぱり分母にsin0がでてきて、うまくいかないようにおもいます。
確かにg'(x)も、単純にx=0を代入することは出来ない形になります。
具体的には
g'(x) = (sin(x)-x*cos(x))/((sin(x))^2)
となると思いますが、これもx=0のとき0/0型の不定形になるのでx→0での極限が存在する可能性があります。
実際、
lim[x→0]{g'(x)} = 0
となるので、g(0)をg(x)のx→0での極限で定義すればマクローリン展開の式に当てはめることが出来ます。
同様にg''(x)も、一般のn次導関数もx=0で不定形になりますがx→0での極限が存在するため、それらの極限を用いてx=0における値を定義すればマクローリン展開が可能ということです。
>ローラン展開した場合でも
>展開式に「1/x」の項が現れるため、x=0とおけず、f(0)も未定義になることは変わりありません。
#1さんの仰るように、f(0)が定義されないためにf(x)をマクローリン展開することはできません。
しかし、少しの工夫を加えるとマクローリン展開に変わるローラン展開をすることは出来ます。
私は、f(x)のマクローリン展開が可能である事を示したのではなく、マクローリン展開(テイラー展開)の発展としてのローラン展開をすることは可能であると言うことを具体的な方法とともに示しただけです。
x=0とおけるかどうかを調べる必要はありますが、x=0とおけないからといってそこで議論を終了する必要はありません。
また、f(0)が存在しないからといって、f(x)自体が全くの無意味になるわけではありません。
x≠0なる場合に着目すれば、f(x)にもf(x)のローラン展開にも充分に意味があります。
実際にf(x)をローラン展開した式はx=0の近く(ただしx≠0)でf(x)の値を与えます。
テイラー展開にしてもローラン展開にしても、x=aで展開したときのx=aにおける値だけが重要なのではありません。
x=aの近くでも同様に、展開した式が正しく機能するからこそ重要なのです。
何にしてもf(x)のマクローリン展開は出来ません。ローラン展開なら出来ます。
以上です。
マクローリンのとらえ方等、勉強を深めることができました。
何ができるのか、何はできないのか、そこでどう考えるのか等
いろいろな考えを示してもらいありがとうございます。
No.3
- 回答日時:
#1です。
#2さんの言われることをやってもダメなものはダメで、
マクローリン展開はやはりできず、ローラン展開ならできるということです。
しかし
ローラン展開した場合でも
展開式に「1/x」の項が現れるため、x=0とおけず、f(0)も未定義になることは変わりありません。
参考)
g(x)=x/sin(x)(x≠0), g(x)=1(x=0)
で定義したg(x)のマクローリン展開
g(x)=1+(1/6)(x^2)+(7/360)(x^4)+(31/15120)(x^6)+(127/604800)(x^8)
+(73/3421440)(x^10)+...
(1/x)をかけて形式的にf(x)=(1/x)g(x)で計算した展開式(ローラン展開)
は
f(x)=(1/x)+(1/6)x+(7/360)(x^3)+(31/15120)(x^5)+(127/604800)(x^7)
+(73/3421440)(x^9)+...
となります。
f(0)が未定義なので、当然x=0とは置けませんね。
また、質問で書かれたマクローリン展開の定義式に該当した展開式では
表せない。つまりマクローリン展開できないことを意味します。
こういったことを含めて、A#1のように
f(x)=1/sin(x)はマクローリン展開できない
と回答したわけです。
マクローリン展開について、考えを深めることができました。
x=0のときの取り扱いが、問題だということがよく分かりました。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
たしかにf(x)=1/sin(x)はx=0で定義されないのでマクローリン展開することはできません。
しかし次のように変形してみてください
f(x) = 1/sin(x) = (1/x)*(x/sin(x))
右辺においてg(x)=x/sin(x)とすると
lim[x→0]{g(x)} = lim[x→0]{x/sin(x)} = 1
となり、これよりg(0)をx→0の極限として定義すれば、g(x)をx=0の周りでマクローリン展開することが出来ます。
g(x)が展開されたなら
f(x) = g(x)/x
という関係を用いて、g(x)の展開式をxで割ることで(全ての項の次数を1ずつ下げることで)f(x)が展開できます。
このようにして展開した式はx^(-1)の項を含むのでマクローリン展開ではなくローラン展開と呼ばれます。
この回答への補足
>これよりg(0)をx→0の極限として定義すれば、g(x)をx=0の周りでマ クローリン展開することが出来ます。
g(0)=1とするということでしょうか。
確かに、g(x)が展開できれば、xで割ればうまくいくと思います。ただ、g(x)の展開がやっぱり、うまくいかないように思います。
g(x)を一回微分したとき、やっぱり分母にsin0がでてきて、うまくいかないようにおもいます。
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
x=0ではf(x)は発散しますのでf(x)が定義されていません。
、定義されていないx=0でのマクローリン展開は出来ません(展開不能)。
つまりマクローリン展開は存在しない。ということです。
sin(x)≠0となるxでのテーラー展開なら存在します。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 画像においてtan x=sin x/cos xでありますが、 x=0の時は分母が0になり式が成立しな
- tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが
- tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが
- nが実数のとき、(1+x)^nのマクローリン展開は (1+x)^n=1+nx+n(n-1)/2!x^
- 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー
- 画像はテイラー展開の公式です。 <マクローリン展開> f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-a
- マクローリン展開のn次の係数を求める問題です。 考えてみたのですが、分からず困っています。 x/(1
- 「<マクローリン展開> f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-a)^n(ローラン展開の式)より
- マクローリン展開のn次の係数を求めよと言う問題です。 (x^2+2)e^x, n=5 どのようにして
- マクローリン展開を簡単にする方法を教えてください
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術
中・小規模の店舗やオフィスのセキュリティセキュリティ対策について、プロにどう対策すべきか 何を注意すべきかを教えていただきました!
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
arcsinのマクローリン展開について
数学
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
-
4
ローラン展開について
数学
-
5
(sinx)^6の積分を教えてください
数学
-
6
フーリエ級数の問題で、f(x)は関数|x|(-π<x<π)で同期2πで
数学
-
7
マクローリン展開の問題教えてください。
数学
-
8
テイラー展開 1/(1-x^3), 1/(1-x)^2
数学
-
9
大学数学の極限の問題について lim【x→+0】(1/x -1/sinx )の極限はどのように求める
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
二次関数の問題について質問で...
-
f(x) g(x) とは?
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
【数3 式と曲線】 F(x、y)=0と...
-
f(x)=xe^-2xの極大値
-
微分について
-
マクローリン展開
-
因数分解
-
微分可能なのに導関数が不連続?
-
【数Ⅲ】この問題の十分条件(?...
-
z^5=1の虚数解の一つをαと置く...
-
関数f(x)がC∞-級関数であること...
-
交点の個数と実数解の個数が同...
-
"交わる"と"接する"の定義
-
増減表は間の数を代入しないと...
-
区分求積法の公式 lim(n→∞)1/nΣ...
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
数III 微分の質問です。
-
∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(f(x),g(x))= (∫[ーπ, π){f(x)...
-
f(x) g(x) とは?
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
二次関数 必ず通る点について
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
"交わる"と"接する"の定義
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
微分の公式の導き方
-
ニュートン法について 初期値
-
左上図、左下図、右上図、右下...
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
数学 定積分の問題です。 関数f...
-
ルートの中が負の数の時って?
-
微分について
-
微分の公式の証明
-
yとf(x)の違いについて
-
関数f(x)とg(x)があったとき、...
-
増減表は間の数を代入しないと...
-
フーリエ変換できない式ってど...
おすすめ情報