微分係数について 関数 f(x) の x=a における微分係数の定義は、 f '(a) = lim(

微分係数について
関数 f(x) の x=a における微分係数の定義は、
f '(a) = lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)
ですが、f(a) の値が分母が0 になるなどして直接計算できないものの lim(x→a)f(x)=α であるとき、f(a) の代わりに α として
f '(a) = lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
でも良いでしょうか？

質問者からの補足コメント

• tknakamuri 様
  コピーしたために、「ダメです」が残ってしまいました。失礼。

    補足日時：2021/05/25 15:57

• endlessriver 様
  しつこいかも知れませんが、
  lim(x→a)f(x)=α であるとき、f(a) の代わりに α として
  lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
  が存在するならば、f '(a) は存在して
  f '(a)=lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
  とはできせんか？
  「f '(x) が存在するとわかっていれば」とありますが、まさか x は実数全体ではないですよね。

    補足日時：2021/05/25 16:23

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/25 12:49

微分係数の定義は

　lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)
が存在するとき、f'(a) とおく。

このとき、lim[x→a] f(x)=f(a)=α なので、当然
　f '(a) = lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
でもよい。

当然、一般には逆は言えない。

この回答へのお礼

ということは、私のやり方は間違っていないということでしょうか？

お礼日時：2021/05/25 15:38

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/25 17:23

f(a) が存在しなければ、定義から f'(a)は定義できません。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/25 16:54

>f '(a)=lim(x→a){f(x)-0}/(x-a) となります。

>「f'(x) の limは発散するけど 」
>とありますが、これは0/0 の不定形ではないでしょうか？

「あなたのやり方」では 分母と分子は０に近づくけど
「本来」は発散するのであなたのやり方は間違い
ということです。

f(a) は定義されているのに f(a) を勝手に別の値にすり替えたら
変でしょ？

この回答へのお礼

了解しました。それでは、lim(x→a)f(x)が存在しても、f(a) が存在しなければ、
f '(a) は存在しないと結論して良いでしょうか？

お礼日時：2021/05/25 17:08

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/25 16:32

#3さんの例を使うと

f(x) → ０(x → a)なので、lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)=0 であなたの
極限は存在しますが

f(a)=1 なので
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=lim(x→a) {0-1}/(x-a)=±∞
なので、f'(x)の定義による値は存在しません。

この回答へのお礼

了解しました。それでは、lim(x→a)f(x)が存在しても、f(a) が存在しなければ、
f '(a) は存在しないと結論して良いでしょうか？

お礼日時：2021/05/25 17:09

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/25 16:09

繰り返すと f'(x) が存在するとわかっていれば、あなたの方法で

よいです。

f'(x)の存在がわからない状態であなたの方法は使えません。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/25 13:13

ダメです。

例えば
f(x) = 0(x≠a), 1(x=a)
だと f'(x) の limは発散するけど

f(a)を 0 で置き換えたら答えが違うでしょ。

この回答へのお礼

ダメです。

例えば
f(x) = 0(x≠a), 1(x=a)
ならば、lim(x→a)f(x)=0 より、私のやり方では
f '(a)=lim(x→a){f(x)-0}/(x-a) となります。
「f'(x) の limは発散するけど 」
とありますが、これは0/0 の不定形ではないでしょうか？

お礼日時：2021/05/25 15:49

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/25 03:47

f(a) の値が分母が0 になるなどして直接計算できない

ときは
x=aは関数f(x)の定義域外となります
定義域外では微分係数は定義できません
f(a) の値が定義されていないのに
勝手に定義してはいけません

lim(x→a)f(x)=α (有限値)

であるとき、

f(a)=αと定義されていれば

f'(a) = lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)

となります


例)

x≠0の時f(x)=(sinx)/x
x=0の時f(0)=1
と
関数f(x)が定義されていれば

f'(0)=lim(x→a){f(x)-f(0)}/(x-a)