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微分係数について
関数 f(x) の x=a における微分係数の定義は、
f '(a) = lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)
ですが、f(a) の値が分母が0 になるなどして直接計算できないものの lim(x→a)f(x)=α であるとき、f(a) の代わりに α として
f '(a) = lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
でも良いでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • tknakamuri 様
    コピーしたために、「ダメです」が残ってしまいました。失礼。

      補足日時:2021/05/25 15:57
  • endlessriver 様
    しつこいかも知れませんが、
    lim(x→a)f(x)=α であるとき、f(a) の代わりに α として
    lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
    が存在するならば、f '(a) は存在して
    f '(a)=lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
    とはできせんか?
    「f '(x) が存在するとわかっていれば」とありますが、まさか x は実数全体ではないですよね。

      補足日時:2021/05/25 16:23

A 回答 (7件)

微分係数の定義は


 lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)
が存在するとき、f'(a) とおく。

このとき、lim[x→a] f(x)=f(a)=α なので、当然
 f '(a) = lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)
でもよい。

当然、一般には逆は言えない。
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この回答へのお礼

ということは、私のやり方は間違っていないということでしょうか?

お礼日時:2021/05/25 15:38

f(a) が存在しなければ、定義から f'(a)は定義できません。

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>f '(a)=lim(x→a){f(x)-0}/(x-a) となります。


>「f'(x) の limは発散するけど 」
>とありますが、これは0/0 の不定形ではないでしょうか?

「あなたのやり方」では 分母と分子は0に近づくけど
「本来」は発散するのであなたのやり方は間違い
ということです。

f(a) は定義されているのに f(a) を勝手に別の値にすり替えたら
変でしょ?
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この回答へのお礼

了解しました。それでは、lim(x→a)f(x)が存在しても、f(a) が存在しなければ、
f '(a) は存在しないと結論して良いでしょうか?

お礼日時:2021/05/25 17:08

#3さんの例を使うと


f(x) → 0(x → a)なので、lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)=0 であなたの
極限は存在しますが

f(a)=1 なので
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=lim(x→a) {0-1}/(x-a)=±∞
なので、f'(x)の定義による値は存在しません。
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この回答へのお礼

了解しました。それでは、lim(x→a)f(x)が存在しても、f(a) が存在しなければ、
f '(a) は存在しないと結論して良いでしょうか?

お礼日時:2021/05/25 17:09

繰り返すと f'(x) が存在するとわかっていれば、あなたの方法で


よいです。

f'(x)の存在がわからない状態であなたの方法は使えません。
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ダメです。



例えば
f(x) = 0(x≠a), 1(x=a)
だと f'(x) の limは発散するけど

f(a)を 0 で置き換えたら答えが違うでしょ。
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この回答へのお礼

ダメです。

例えば
f(x) = 0(x≠a), 1(x=a)
ならば、lim(x→a)f(x)=0 より、私のやり方では
f '(a)=lim(x→a){f(x)-0}/(x-a) となります。
「f'(x) の limは発散するけど 」
とありますが、これは0/0 の不定形ではないでしょうか?

お礼日時:2021/05/25 15:49

f(a) の値が分母が0 になるなどして直接計算できない


ときは
x=aは関数f(x)の定義域外となります
定義域外では微分係数は定義できません
f(a) の値が定義されていないのに
勝手に定義してはいけません

lim(x→a)f(x)=α (有限値)

であるとき、

f(a)=αと定義されていれば

f'(a) = lim(x→a){f(x)-α}/(x-a)

となります


例)

x≠0の時f(x)=(sinx)/x
x=0の時f(0)=1

関数f(x)が定義されていれば

f'(0)=lim(x→a){f(x)-f(0)}/(x-a)
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