原始関数

が複数種類存在することはありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/07/21 00:28

ある関数の原始関数は、定数の差を除いて一意に決まります。

いま関数f(x)を考えて、f(x)の原始関数がF(x),G(x)と二通りあったとします。
このときF(x)-G(x)をxで微分すると、微分の線型性より
　　(d/dx)(F(x)-G(x)) = dF/dx-dG/dx = f(x)-f(x) = 0
よって
　　(d/dx)(F(x)-G(x)) = 0
より、両辺をxで積分すると、
　　F(x)-G(x) = C
(ただしCはxによらない定数)

このCがいわゆる積分定数であり、二つの原始関数F(x),G(x)の関係は、適当なCを用いて
　　F(x) = G(x)+C
と書けるのです。
このことから、f(x)の原始関数は定数の差を除いて一意的(unique)であるといいます。