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関数f(x)でf(0)=0かつlim_{x->∞}f(x)=0、もしくはlim_{x->+-∞}f(x)=0で、ピークを一つだけ持つようなものにはどのようなものが存在するでしょうか?
正規分布の確率密度関数が候補の1つなのですが、なるべく簡単な関数(代数関数で書けるものがベスト)で上記の条件を満たすものがあれば教えて頂きたいです。
どうぞよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます。lim_{x->+-∞}f(x)=0でも良いのでその意味で正規分布の確率密度関数を例に入れました。
    ピークは上だけでも上下両方合わせてでもどちらでもよいです!よろしくお願いいたします。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/01/14 18:25
  • ご回答ありがとうございます!できれば連続関数でお願いしたいです。。。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/01/15 15:20
  • ご回答ありがとうございます。非負関数になります。補足ありがとうございます。やっぱり指数関数とか対数をつかった複雑な式しか無理ですかね。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/01/15 18:59
  • ご指摘ありがとうございます。おっしゃる通りです。微分可能な関数でお願いしたいです。

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/01/16 00:29

A 回答 (6件)

多項式では書けない。

指数関数のような初等関数もイヤだということなら…

「lim_{x->+-∞}f(x)=0で、ピークを一つだけ持つ」「非負関数」「連続関数」「至る所微分可能」。例えば f(x) = 1/(x² + 1) とか。

「f(0)=0かつlim_{x->∞}f(x)=0 」「ピークを一つだけ持つ」「非負関数」「連続関数」「至る所微分可能」。ということは、(x<0 ならばf(x) = 0) あるいは(x>0 ならばf(x) = 0)を満たす。例えば f(x) = (x<0 のとき0, x≧0のとき x²/(x³ + 1) ) とか。

 ところで、「ピークを一つだけ持つ」話だというのに

> ピークは上だけでも上下両方合わせてでもどちらでもよい

とは一体どういうことなんだか、さっぱりわからない。
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> 微分可能な関数で



割と簡潔な式で っていうと、例えば
x < 0 のとき f(x) = 0,
x ≧ 0 のとき f(x) = x^2 e^-x.
なんてどう?
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> できれば連続関数でお願いしたいです。

。。

よく見てください。
No.2 の f(x) は、連続関数です。
この回答への補足あり
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f(0)=0って、非負関数ということですか?



だとしたら、対数正規分布、ワイブル分布、ポアソン分布など?
この回答への補足あり
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x < 0 で f(x) = 0,


0 ≦ x < 1 で f(x) = x,
1 ≦ x で f(x) = 1/x^2.
とかどう?
f(0) = 0 かつ lim[x→±∞] f(x) = 0 かつ 極大値は f(1) ひとつだけ。
式も割と簡単な代数式だけ使っている。

∫[-∞,+∞] f(x) dx が有界だから、
定数倍して確率密度関数にすることもできるよ。
この回答への補足あり
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「ピーク」が上だけの話なのか上下両方あわせての話なのかが曖昧だなぁ.



あと, 「正規分布の確率密度関数」だと f(0)=0 にはならんよね.
この回答への補足あり
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