累積分布関数F(x)の計算の仕方を教えてください。

確率密度関数f(x)が次のように与えられています。
f(x )=
0 　　 (ｘ<-1/4)
8/3x＋2/3 　 　　 (-1/4≦ｘ≦０）
-4/21x+2/3　　 ( 0≦ｘ≦7/4)
-4/3x+8/3 (7/4≦ｘ≦2)
0 (x>２)


　ここから、累積分布関数F(x)を求めるには、区切られた範囲内で積分して求めていく
　らしいですが。。。。お詳しい方教えてください。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  まだ、よくわかりません。ものすごく、初歩的な質問ですが、
  0 ≦ ｘ ≦ 7/4 の範囲ですが、最後 ∫[0,x]{ (-4/21)t+2/3 }dtとなっていて、 0 ≦ ｘの範囲まで
  での計算ではないですか？すみませんがおしえてください。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/12 11:22

• 

  低レベルの質問に、詳しく回答して頂いてありがとうございます。
  
  質問した後にｔに4/7を代入すればよいことに気がつきました。
  次の範囲の計算は(7/4≦ｘ≦２）でのｘを考えるやつで
  F(x) = ∫[-∞,x] f(t) dt
  　　= ∫[-∞,-1/4] f(t) dt + ∫[-1/4,0] f(t) dt + ∫[0,x] f(t) dt
  　　= ∫[-∞,-1/4] 0 dt + ∫[-1/4,0]{ (8/3)t+2/3 }dt + ∫[0,7/4]{ (-4/21)t+2/3 }dt
  　 + ∫[7/4,x]{ (-4/21)t+2/3 }dt
  　= 0 +23/24 -(2/3x^2+(8/3)Xとなってしまって、前回解いていただいた、定数部分が-3/5
  となりません。
  どうしてもわからないです。申し訳ないですが、教えてください。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/12 18:31

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/12 19:11

7/4 ≦ ｘ ≦ 2 もですか？ 同様なんだけど...

F(x) = ∫[-∞,x] f(t) dt
　　= ∫[-∞,-1/4] f(t) dt + ∫[-1/4,0] f(t) dt + ∫[0,7/4] f(t) dt + ∫[7/4,x] f(t) dt
　　= ∫[-∞,-1/4] 0 dt + ∫[-1/4,0]{ (8/3)t+2/3 }dt + ∫[0,7/4]{ (-4/21)t+2/3 }dt
　　　　+ ∫[7/4,x]{ (-4/3)x + 8/3 }dt
　　= 0 + 1/12 + 7/8
　　　　+ { (-2/3)x^2 + (8/3)x } - { (-2/3)(7/4)^2 + (8/3)(7/4) }
　　= (-2/3)x^2 + (8/3)x) - 5/3.

4つ目の項が ∫[7/4,x]{ (-4/21)t+2/3 }dt だと、
定数項だけじゃなく他の係数も合わなくなると思います。

この回答へのお礼

今やっと、解けました！ありがとうございます。
確率密度関数とか、累積分布関数の知識０から、ありものがたりさんのおかげで、すごく知識が増えました！実は、６４才のおばちゃんです。算数音痴のアホなのに、１年間公文で中２から数Ⅲの途中（もうすぐ終わる予定です）までのおさらいをした力だけで、無謀にもこの春から某大学の通信教育の教育学科、数学課程に入学してしまいました。
もし、何年か　かかっても、単位とれたら奇跡だと思います。でも、解決したときの爽快感、なぜ、あんなえらい思いをして、登山をするのか少し分かった気がします。低レベルの質問に根気よく、回答してくださって感謝です。
ありがとうございました！

お礼日時：2022/06/12 21:28

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/12 16:18

＞ 0 ≦ ｘ ≦ 7/4 の範囲ですが、

＞ 最後 ∫[0,x]{ (-4/21)t+2/3 }dt となっていて
＞ 0 ≦ ｘ の範囲まででの計算ではないですか？

そのとおりですが？
追加質問の内容が何なのか判りません。

累積分布関数の定義が F(x) = ∫[-∞,x] f(t) dt なのだから、
t が -∞ < t ≦ x の範囲で積分する必要があって、
[-∞,x] = [-∞,-1/4] ∪ [-1/4,0] ∪ [0,x] より
F(x) = ∫[-∞,-1/4] f(t) dt + ∫[-1/4,0] f(t) dt + ∫[0,x] f(t) dt です。
最後の項は ∫[0,x] f(t) dt なので、
t が 0 ≦ t ≦ x の範囲で積分することになります。

No.1 では 0 ≦ ｘ ≦ 7/4 の範囲の x を考えているので、
0 ≦ t ≦ x の範囲では 0 ≦ t ≦ 7/4 が成立して、
上記の ∫[0,x] f(t) dt の f(t) には
f(x) の定義式で 0 ≦ x ≦ 7/4 の部分を使えばいいことになります。
なので、 ∫[0,x] f(t) dt = ∫[0,x]{ (-4/21)t+2/3 }dt.

疑問点はどこでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/12 08:26

同じ問題の前回質問のとき、やってみせましたね。

見直そうと思って探したら、質問がみつかりませんでした。
回答済みの質問を消去して、再投稿しているのでしょうか？

例えば、 0 ≦ ｘ ≦ 7/4 の範囲の x に対しては、
F(x) = ∫[-∞,x] f(t) dt
　　= ∫[-∞,-1/4] f(t) dt + ∫[-1/4,0] f(t) dt + ∫[0,x] f(t) dt
　　= ∫[-∞,-1/4] 0 dt + ∫[-1/4,0]{ (8/3)t+2/3 }dt + ∫[0,x]{ (-4/21)t+2/3 }dt
　　= 0 + 1/12 + { (-2/21)x^2 + (2/3)x }.

他の範囲の x についても、同様にやってみましょう。